媒介変数表示された点の軌跡(双曲線)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 媒介変数 $t$ を消したい。$x=t+\frac{1}{t}$、$y=t-\frac{1}{t}$ — 形がそっくりで、和と差の構造をしている。

2乗の差をとると $x^2-y^2=4$ と、$t$ が一気に消える。

ただし式を消して終わりではない。「出てきた曲線のどの部分が実際に描かれるか」(点の存在範囲)まで確かめて、初めて軌跡の答えになる。

① $2$ 乗の差で $t$ を消す。 $$x^2-y^2={\left(t+\frac{1}{t}\right)}^2-{\left(t-\frac{1}{t}\right)}^2=\left(t^2+2+\frac{1}{t^2}\right)-\left(t^2-2+\frac{1}{t^2}\right)=4.$$ ② $x$ の範囲。 $t>0$ なら $x=t+\frac{1}{t}\ge 2$(相加相乗)、$t<0$ なら $x\le -2$。よって $|x|\ge 2$。

③ 軌跡。 $x^2-y^2=4$(すなわち $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$)。$|x|\ge 2$ は双曲線の $2$ 枝すべてに対応する(頂点 $(\pm 2,0)$ から外側)ので、軌跡は双曲線 $x^2-y^2=4$ の全体。

まとめ $x^2-y^2=4$($t$ を $2$ 乗の差で消去)、$|x|\ge 2$ で双曲線全体。軌跡(媒介変数消去)と $2$ 次曲線の融合。

発展 — 一歩先へ。 $x=t+\frac{1}{t}$、$y=t-\frac{1}{t}$ は双曲線の有理関数によるパラメータ表示である。$t$ を $e^u$ と書き直すと $x=2\cosh u$、$y=2\sinh u$ — 円のパラメータ $(\cos ,\sin )$ にそっくりな「双曲線関数」に出会う。円と双曲線は、パラメータ表示の世界でも兄弟である。

別解

別解 — 和と差の積で消す(得意な人向けの一撃)。 2乗して引く代わりに、まず足し算と引き算をつくる。

$$x+y=2t,x-y=\frac{2}{t}.$$

掛け合わせると

$$(x+y)(x-y)=2t\cdot \frac{2}{t}=4,$$

すなわち $x^2-y^2=4$。$t$ が瞬時に消えた。

この形の利点は「逆」も同時に見えること。双曲線 $x^2-y^2=4$ 上の任意の点で $t=\frac{x+y}{2}$ とおけば($x^2=4+y^2>y^2$ より $x+y\ne 0$)、$x=t+\frac{1}{t}$、$y=t-\frac{1}{t}$ が復元できる。つまり双曲線の全体が実現し、削るべき部分はない($|x|\ge 2$ は双曲線上で自動的に満たされる)。消去と実現(存在)が1セットで片づく。