円板領域での1次式の最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円板上で $1$ 次式 $x+y$ の最大最小。$x+y=k$(傾き $-1$ の直線)が円板と共有点をもつ $k$ の範囲を調べる。

$k$ を動かすと直線が平行移動する。$k$ が最大・最小になるのは、直線が円にちょうど接するとき(それ以上動かすと円から離れる)。

接する条件は「中心 $(1,2)$ から直線 $x+y-k=0$ までの距離 $=$ 半径 $2$」。$\frac{|1+2-k|}{\sqrt{2}}=2$ から $|3-k|=2\sqrt{2}$、$k=3\pm 2\sqrt{2}$。

① 接する条件。 中心 $(1,2)$、半径 $2$。直線 $x+y-k=0$ が円に接するのは、中心から直線までの距離が $2$ のとき:

$$\frac{|1+2-k|}{\sqrt{1^2+1^2}}=2⟹\frac{|3-k|}{\sqrt{2}}=2⟹|3-k|=2\sqrt{2}$$

② $k$ を求める。

$$3-k=\pm 2\sqrt{2}⟹k=3\mp 2\sqrt{2}$$

よって最大値 $3+2\sqrt{2}$、最小値 $3-2\sqrt{2}$。

まとめ:円板上の $1$ 次式は「直線を平行移動して円に接するとき最大最小」。接する条件は「中心からの距離 = 半径」。中心での値 $3$ を軸に、$\pm (\text{半径}\times \sqrt{2})=\pm 2\sqrt{2}$ 動くと覚えてもよい。

発展 — 一歩先へ。 円板上での $1$ 次式 $ax+by$ の最大最小は「中心での値 $\pm r\sqrt{a^2+b^2}$」。$\sqrt{a^2+b^2}$ は勾配ベクトル $(a,b)$ の大きさで、コーシー・シュワルツの不等式 $|ax+by|\le \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{x^2+y^2}$ の等号(平行)で最大が実現する。線形計画の“丸い版”だ。

別解

別解 — 中心での値に「半径 $\times$ 係数」を足し引きする(得意な人向けの視点)。 $x+y$ の中心 $(1,2)$ での値は $1+2=3$。円板上では、この中心値を基準に上下に振れる。

振れ幅は「半径 $\times$ 目的関数の勾配の大きさ」。$x+y$ の勾配ベクトルは $(1,1)$、大きさ $\sqrt{2}$。半径 $2$ を掛けて振れ幅は $2\sqrt{2}$。

だから最大 $3+2\sqrt{2}$、最小 $3-2\sqrt{2}$。

接する条件で $k$ を求める本解と同じ。「$1$ 次式 $ax+by$ の円板上の最大最小 $=$ 中心での値 $\pm r\sqrt{a^2+b^2}$」という公式で、中心値 $3$ に $2\times \sqrt{1^2+1^2}=2\sqrt{2}$ を足し引き。最大・最小を与える点は、中心から勾配方向 $(1,1)$ に $\pm$ 半径ぶん進んだ円周上の点だ。