数学II / 軌跡と領域

円族の通過領域(半平面)

実戦編軌跡と領域通過領域円存在条件単元横断

問題

$t$ が正の実数全体を動くとき、円 $(x - t)^{2} + y^{2} = t^{2}$ が通過する点 $(x, y)$ 全体の領域を求めよ。

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点 $(a, b)$ を通る $⟺$ ある $t > 0$ で $(a - t)^{2} + b^{2} = t^{2}$ 。展開すると $t^{2}$ が消えて $t$ の $1$ 次式。 $t = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2 a} > 0$ の条件は?

解答・解説

方針

点 $(a, b)$ を代入し、 $t$ の方程式が正の解をもつ条件を求める。 $t$ について整理すると $1$ 次方程式になり、解の符号が $a$ の符号で決まる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 この円に $(0, 0)$ を代入すると $t^{2} = t^{2}$ で常に成立する。つまりすべての円が原点を通り、中心 $(t, 0)$ は正の $x$ 軸上。 $t$ が大きいほど円は右へ大きく広がる。

通過領域は「点 $(a, b)$ を通す $t > 0$ が存在するか」で決まる。代入して整理すると $t^{2}$ が両辺で消え、 $t$ の1次方程式になるのが計算上の急所だ。

ただし、1次方程式を $t = \dots$ と解くには係数で割る必要がある。割れない例外(原点)は別枠で確かめる。

重要点

(a, b)

が通過点

⟺

ある

t > 0

で

(a - t)^{2} + b^{2} = t^{2}

、整理すると

2 a t = a^{2} + b^{2}

① 通過条件。 点 $(a, b)$ を通る $⟺$ ある $t > 0$ で $(a - t)^{2} + b^{2} = t^{2}$ 。展開すると $a^{2} - 2 a t + t^{2} + b^{2} = t^{2} ⟹ 2 a t = a^{2} + b^{2} .$ ② 場合分け。

$(a, b) = (0, 0)$ : 式は $0 = 0$ で、どんな $t > 0$ でも成立。原点はすべての円が通る(通過領域に入る)。
$a = 0, b \neq = 0$ : 左辺 $0$ 、右辺 $b^{2} > 0$ で不成立。 $y$ 軸上の原点以外の点は通らない。
$a \neq = 0$ : $t = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2 a}$ 。分子は正だから $t > 0 ⟺ a > 0$ 。

③ 領域。 よって通過領域は $x > 0 または (x, y) = (0, 0) (右半平面と原点) .$

円 (x−t)²+y²=t²(t>0)はすべて原点を通り、右へ広がる。通過領域は右半平面 x>0 と原点。

まとめ 代入して $t^{2}$ を消すと $2 x t = x^{2} + y^{2}$ 。原点は $0 = 0$ で全円が通り、それ以外は $t = \frac{x ^{2} + y ^{2}}{2 x} > 0 ⟺ x > 0$ 。「係数で割る前に、割れない点(原点)を検分する」— これが本問の落とし穴だった。

発展 — 一歩先へ。 この族は「原点で $y$ 軸に接する、右側の円」の全体である。 $t < 0$ も許せば左側の円も加わり、通過領域は「 $y$ 軸(原点を除く)以外の全平面」になる。さらに反転(この単元で扱う $OP \cdot OQ = 1$ の変換)で見ると、原点を通るこの円族は縦線の族の像であり、円と直線が入れ替わる好例になっている。

答

点 $(a, b)$ を通る $⟺$ ある $t > 0$ で $2 a t = a^{2} + b^{2}$ 。原点は全ての $t$ で成立(全円が原点を通る)。原点以外は $t = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2 a} > 0 ⟺ a > 0$ 。通過領域は $x > 0$ と原点。

別解

別解 — 「原点で $y$ 軸に接する円」を作図で見つける(図形で納得するルート)。 中心 $(t, 0)$ ・半径 $t$ の円は、中心から $y$ 軸までの距離がちょうど半径 — つまり原点で $y$ 軸に接する円だ。

点 $P (a, b)$ ( $a > 0$ )を通るこの形の円を作図してみる。円は $O$ と $P$ の両方を通るから、中心は線分 $OP$ の垂直二等分線上。同時に中心は $x$ 軸上。この2直線の交点を計算すると $x$ 座標は $\frac{a}{2} + \frac{b ^{2}}{2 a} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2 a}$ で、本解の $t$ と一致する。 $a > 0$ なら正、つまり作図が成功する。

$a < 0$ では交点が $t < 0$ 側に出て族に入らない。 $a = 0$ ( $b \neq = 0$ )では $OP$ が $y$ 軸上にあり、垂直二等分線が $x$ 軸と平行になって交点そのものがない。

式の場合分け(本解)と作図の成否が1対1に対応する。原点だけは作図不要 — 最初から全部の円が通っている。

ポイント

代入すると $t^{2}$ が消え、 $t$ の1次方程式 $2 a t = a^{2} + b^{2}$ になる。
原点は $0 = 0$ で全ての円が通る — 係数で割る前に必ず検分する。
原点以外は $t = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2 a} > 0 ⟺ a > 0$ 。通過領域は $x > 0$ と原点。

よくある間違い

$2 a t = a^{2} + b^{2}$ を $a$ で割る前に $a = 0$ の点(とくに原点)を検分しない — 原点は全円が通るのに、答えから漏れる。
$t > 0$ の符号条件を忘れて $x < 0$ 側まで通過領域に含めてしまう。
$y$ 軸の扱いが曖昧になる( $y$ 軸上で通過されるのは原点だけ。 $x > 0$ は境界を含まない開いた半平面)。