線分を45°で見込む点の軌跡

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「見込む角が一定」の軌跡は円弧(円周角の定理の逆)。これが正体の当たりだ。

式で追うには、$\mathrm{P}(x,y)$ から $\mathrm{A},\mathrm{B}$ への2直線の傾きを書き、なす角の公式に $45^{\circ }$ を入れる。絶対値を外すときの $\pm$ が「上の円・下の円」に対応する。

最後の関門は吟味だ。同じ円でも、弦 $\mathrm{AB}$ の長い弧の上では $45^{\circ }$、短い弧の上では $135^{\circ }$。方程式だけ見て円全体を答えると、軌跡が2倍に膨らんでしまう。

① 式を立てる。 $\mathrm{P}(x,y)$($y\ne 0$、$\mathrm{P}\ne \mathrm{A},\mathrm{B}$)から $m_1=\frac{y}{x+1},m_2=\frac{y}{x-1}$。

$$m_1-m_2=\frac{-2y}{x^2-1},1+m_1{m}_2=\frac{x^2-1+y^2}{x^2-1}$$

$\tan 45^{\circ }=1$ より

$$\left|\frac{-2y}{x^2+y^2-1}\right|=1⟺x^2+y^2-1=\pm 2y⟺x^2+(y\mp 1{)}^2=2$$

② 円の正体を確かめる。 上の円は中心 $(0,1)$、半径 $\sqrt{2}$ で、$\mathrm{A},\mathrm{B}$ を通る。中心から $\mathrm{A},\mathrm{B}$ へのベクトル $(-1,-1),(1,-1)$ は直交するので、弦 $\mathrm{AB}$ の中心角は $90^{\circ }$。よって長い弧($y>0$ 側)の円周角はその半分の $45^{\circ }$、短い弧($y<0$ 側)では $180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$。下の円は上下対称に同じことが起きる。

③ 軌跡を確定する。 $45^{\circ }$ になるのは

$$\text{円}{x}^2+(y-1{)}^2=2\text{の}y>0\text{の部分と、円}{x}^2+(y+1{)}^2=2\text{の}y<0\text{の部分}$$

(いずれも端の $\mathrm{A},\mathrm{B}$ は角が定義できないので除く。)

まとめ: 計算はなす角の公式、正体は円周角の逆。「方程式が出た円の、どの弧か」の吟味 — 中心角を測って円周角に半分を割り当てる確認 — が、この型の答案の生命線だ。

発展 — 一歩先へ。 $45^{\circ }$ を一般の $\theta$ に変えても、軌跡はつねに「2つの合同な円弧」になる。$\theta$ を $90^{\circ }$ に近づけると2つの弧は1つの円(タレスの円)に合流し、$90^{\circ }$ を超えると今度は短い弧の側が軌跡になる。角度のダイヤルを回すと、弧の家族が連続的に姿を変えていく。

別解

円周角の逆から作図で構成する(幾何が先のルート)。 式を立てる前に、軌跡の円そのものを幾何で作ってしまう。

円周角が $45^{\circ }$ なら、中心角はその2倍の $90^{\circ }$。つまり求める円は、「中心 ${\mathrm{O}}^{\prime }$ から $\mathrm{A},\mathrm{B}$ を見込む角が $90^{\circ }$」となる円だ。

中心は弦 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線($y$ 軸)上にある。${\mathrm{O}}^{\prime }(0,c)$ とおくと、$\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{A}}=(-1,-c)$ と $\overrightarrow{{\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{B}}=(1,-c)$ の直交から

$$-1+c^2=0⟺c=\pm 1$$

半径は ${\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{A}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。円 $x^2+(y\mp 1{)}^2=2$ が、計算の前に姿を現した。

あとは円周角の定理(の逆)で、長い弧の上の点がちょうど $45^{\circ }$ を見込むことを述べ、短い弧は $135^{\circ }$ 側として除けばよい。式のルート(本解)は検算になる。幾何で骨格、式で肉付け — 軌跡の問題の理想的な分業だ。