絶対値と放物線で囲む領域の面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 境界は上が放物線 $y=1-x^2$、下が V 字の折れ線 $y=|x|-1$。まず交点で範囲を確定する。

$x\ge 0$ で $x-1=1-x^2$ を解くと $x=1$($x=-2$ は範囲外)。左右対称だから交点は $x=\pm 1$。

面積は「上 $-$ 下」の積分。全体が $y$ 軸対称なので、$x\ge 0$ 側だけ計算して2倍すると絶対値が外れて楽になる。

① 交点。 $x\ge 0$ で下は $x-1$。$x-1=1-x^2\Rightarrow x^2+x-2=0\Rightarrow (x+2)(x-1)=0\Rightarrow x=1$。対称性から交点は $x=\pm 1$。

② 面積(対称性)。 被積分関数 $(1-x^2)-(|x|-1)=2-x^2-|x|$ は偶関数だから $$S={\int }_{-1}^1(2-x^2-|x|)dx=2{\int }_0^1(2-x^2-x)dx.$$ ③ 計算。 $${\int }_0^1(2-x^2-x)dx={\left[2x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]}_0^1=2-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{12-2-3}{6}=\frac{7}{6},$$ よって $S=2\cdot \frac{7}{6}=\frac{7}{3}$。

まとめ 上 $1-x^2$ − 下 $|x|-1$ を、偶関数の対称性で $2{\int }_0^1(2-x^2-x)dx=\frac{7}{3}$。領域(絶対値)と面積(定積分・対称性)の融合。

発展 — 一歩先へ。 帽子の面積 $\frac{4}{3}$ には古典的な由来がある。アルキメデスは「放物線と弦で囲む面積は、内接する最大三角形の $\frac{4}{3}$ 倍」を示した。ここでは弦が $x$ 軸、最大三角形は $(\pm 1,0),(0,1)$ の面積 $1$ で、たしかに $\frac{4}{3}\times 1$。積分誕生のはるか前に、この面積は知られていた。

別解

別解 — $x$ 軸で切って、知っている面積2つに割る(苦手な人向け)。 上下の境界は、どちらも $x=\pm 1$ で $x$ 軸を横切る($1-x^2=0$ も $|x|-1=0$ も解は $x=\pm 1$)。だから領域は $x$ 軸ですっぱり2枚に分かれる。

• 上半分: 放物線 $y=1-x^2$ と $x$ 軸で囲む「帽子」。1/6公式(または偶関数の積分)で面積 $\frac{4}{3}$。
• 下半分: $x$ 軸と V 字 $y=|x|-1$ で囲む三角形。頂点 $(-1,0),(1,0),(0,-1)$ で、面積 $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1$。

$$S=\frac{4}{3}+1=\frac{7}{3}.$$

積分は帽子の分しか使わない(三角形は底辺 $\times$ 高さ $÷2$)。境界が $x$ 軸を同じ場所で切ることに気づくと、計算がぐっと軽くなる。