領域上の傾きの最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{y}{x}$ を、原点と点 $(x,y)$ を結ぶ直線の傾きと読み替える。

すると問題は「原点から見て、長方形のどの点への傾きが最も急か・最もゆるいか」に変わる。

$\frac{y}{x}=$ 傾き、という幾何的な翻訳が、最大最小を目で見える形に変える。

① $\frac{y}{x}$ の意味を読みかえる。 $\frac{y}{x}$ は、原点 $\mathrm{O}$ とその点を結ぶ直線の傾き。だから「原点から見て、領域のどの点への傾きが最も急か・最もゆるいか」を考えればよい。

② 傾きが極端になる隅をさがす。 原点から見て傾きが最大になるのは、$y$ が大きく $x$ が小さい隅。最小になるのは、$y$ が小さく $x$ が大きい隅。長方形なので4隅を調べれば足りる。

③ その隅で $\frac{y}{x}$ を計算する。

$$\text{最大}=\frac{3}{2},\text{最小}=\frac{1}{4}$$

最大は隅 $(2,3)$、最小は隅 $(4,1)$ でとる。(参考:4隅の傾きは $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{3}{2}$。この中に最大・最小がある。)

まとめ:$\frac{y}{x}$ は「原点からの傾き」。図で原点から領域を見て、いちばん急・いちばんゆるい方向の点(ふつう頂点)でとる。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{y}{x}$ のような分数一次式は、原点を通る半直線の上ではどこでも同じ値をとる。$\frac{y}{x}=\tan (\text{偏角})$ で、値は「向き」だけで決まり、原点からの距離にはよらない。

原点を含まない凸領域の上で $\frac{y}{x}$ を動かすと、値の動く範囲は、原点から領域へ引いた $2$ 本の接する半直線(支持線)の傾きで挟まれる。今の長方形では、その接する半直線が対角の頂点 $(4,1)$ と $(2,3)$ をかすめている。

一般に $\frac{ax+by+c}{dx+ey+f}$ を凸領域上で最大最小する問題は、値が等しい点の集まりがすべて直線になるため、頂点や境界だけを調べれば済む。$1$ 次式(線形計画法)と分数一次式に共通する、「凸領域の端で極値をとる」性質だ。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{y}{x}$ のような分数一次式は、原点を通る半直線の上ではどこでも同じ値をとる。$\frac{y}{x}=\tan (\text{偏角})$ で、値は「向き」だけで決まり、原点からの距離にはよらない。

原点を含まない凸領域の上で $\frac{y}{x}$ を動かすと、値の動く範囲は、原点から領域へ引いた $2$ 本の接する半直線(支持線)の傾きで挟まれる。今の長方形では、その接する半直線が対角の頂点 $(4,1)$ と $(2,3)$ をかすめている。

一般に $\frac{ax+by+c}{dx+ey+f}$ を凸領域上で最大最小する問題は、値が等しい点の集まりがすべて直線になるため、頂点や境界だけを調べれば済む。$1$ 次式(線形計画法)と分数一次式に共通する、「凸領域の端で極値をとる」性質だ。

別解

別解 — 分数を大きく/小さくするコツで隅を選ぶ(苦手な人向けの直感ルート)。 $\frac{y}{x}$ という分数を、そのまま大小で考える。

分数を大きくしたいなら、分子 $y$ をできるだけ大きく、分母 $x$ をできるだけ小さくする。長方形では $y$ の最大は $3$、$x$ の最小は $2$ だから、最大は $\frac{3}{2}$。

小さくしたいなら逆に、分子を小さく分母を大きく。$y$ の最小 $1$、$x$ の最大 $4$ で、最小は $\frac{1}{4}$。

$x$ と $y$ は長方形の中でそれぞれ独立に動ける。だから分子と分母を別々に端へ寄せてよい(これは長方形だからできる技で、境界が斜めだと使えない)。最大 $\frac{3}{2}$(隅 $(2,3)$)・最小 $\frac{1}{4}$(隅 $(4,1)$)。原点からの傾きで見る本解と同じ答えで、「分子を大きく分母を小さく」と読むと隅がすぐ決まる。