放物線の直交する2接線の交点の軌跡(準線)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 放物線の接線は、接点を文字でおくと全部書ける。接点 $(a,a^2)$ での接線は $y=2ax-a^2$、傾きは $2a$ だ。

2本の接線を接点 $a,b$ で用意する。直交の条件は傾きの積が $-1$、つまり $4ab=-1$。

あとは2直線の交点を計算する。$x$ 座標は $\frac{a+b}{2}$、$y$ 座標はうまく整理すると $ab$ になる。直交条件が「$y$ 座標 $=-\frac{1}{4}$」へ直結する。

① 接線と直交条件。 接点 $(a,a^2),(b,b^2)$ での接線は $y=2ax-a^2,y=2bx-b^2$。直交条件は $$2a\cdot 2b=-1⟹ab=-\frac{1}{4}.$$ ② 交点。 $2ax-a^2=2bx-b^2\Rightarrow 2x(a-b)=a^2-b^2=(a-b)(a+b)$。$a\ne b$ より $x=\frac{a+b}{2}$。$y$ は $$y=2a\cdot \frac{a+b}{2}-a^2=a(a+b)-a^2=ab.$$ ③ 軌跡。 $y=ab=-\frac{1}{4}$(一定)。$x=\frac{a+b}{2}$ は $ab=-\frac{1}{4}$ のもとで実数全体を動く。よって軌跡は直線 $$y=-\frac{1}{4}(\text{放物線 }y=x^2\text{ の準線}).$$

まとめ 直交条件 $ab=-\frac{1}{4}$、交点の $y$ 座標が $ab$ に一致 → 軌跡は準線 $y=-\frac{1}{4}$。軌跡(接線の交点)と微分(接線の傾き)の融合。$y=ab$ を見抜くのが核心。

発展 — 一歩先へ。 「直交する2接線の交点」は2次曲線ごとに美しい軌跡を描く。円では半径 $\sqrt{2}$ 倍の同心円、楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ では円 $x^2+y^2=a^2+b^2$(準円)、そして放物線では準線。この直線 $y=-\frac{1}{4}$ は放物線 $y=x^2$ の準線そのもの — 焦点 $\left(0,\frac{1}{4}\right)$ と対をなす線である。

別解

別解 — 逆向きに示す: 準線上の点からの2接線は必ず直交(得意な人向けの高い視点)。 軌跡が $y=-\frac{1}{4}$ 全体になることを、逆方向から確かめる。

直線 $y=-\frac{1}{4}$ 上の点 $\left(p,-\frac{1}{4}\right)$ をとる。接線 $y=2ax-a^2$ がこの点を通る条件は

$$-\frac{1}{4}=2ap-a^2⟺a^2-2pa-\frac{1}{4}=0.$$

この $a$ の2次方程式は判別式 $4p^2+1>0$ で、どんな $p$ でも異なる2つの実数解 $a,b$ をもつ。つまり接線は必ず2本引ける。

そして解と係数の関係から $ab=-\frac{1}{4}$。傾きの積は $2a\cdot 2b=4ab=-1$ — 2本は必ず直交する。

順方向(本解)は「直交なら $y=-\frac{1}{4}$」、この逆方向は「$y=-\frac{1}{4}$ 上ならどの点でも直交する2接線がある」。両方合わせて、軌跡が直線 $y=-\frac{1}{4}$ の全体だと完全に確定する。