数学II / 軌跡と領域

重心の軌跡

★★ 標準軌跡連動型重心

問題

点 $P$ が円 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上を動く。原点 $O$ 、定点 $A (4, 0)$ 、 $P$ を頂点とする三角形の重心 $G$ の軌跡を求めよ。

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重心の座標の関係から、動く点 $P$ の座標を $G$ の座標で逆に表す。それを $P$ の満たす円の式に代入すれば、 $G$ の条件だけが残る。

解答・解説

重心 $G (x, y)$ を主役にする。重心の公式から $P$ の座標を $x$ 、 $y$ で表し、それを『 $P$ が円上』の条件に代入する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 主役は重心 $G$ だ。 $G (x, y)$ とおく。動かされる側の $P$ は $(X, Y)$ と別の文字にする。

重心の公式から $x = \frac{0 + 4 + X}{3}$ 、 $y = \frac{0 + 0 + Y}{3}$ 。これを逆に解くと $X = 3 x - 4$ 、 $Y = 3 y$ 。

$P$ は円 $X^{2} + Y^{2} = 4$ の上にいる。代入すれば、 $x, y$ の関係式=軌跡が出る。「つなぎ役の文字を、条件式に送り込んで消す」流れである。

重要連動型の軌跡:求める点

G (x, y)

で動点

P

を表し、

P

の条件式に代入

$G (x, y)$ 、 $P (s, t)$ とおく。重心の座標より

$x = \frac{0 + 4 + s}{3}, y = \frac{0 + 0 + t}{3}$

$s$ 、 $t$ について解く。

$s = 3 x - 4, t = 3 y$

$P$ は円 $s^{2} + t^{2} = 4$ 上にあるので代入する。

$(3 x - 4)^{2} + (3 y)^{2} = 4 \Rightarrow 9 (x - \frac{4}{3})^{2} + 9 y^{2} = 4$

両辺 $9$ で割って

$(x - \frac{4}{3})^{2} + y^{2} = \frac{4}{9}$

P の円(大)と重心 G の軌跡(小)

発展 — 一歩先へ。 「縮小+平行移動で図形ごと写す」見方は、中点の軌跡( $\frac{1}{2}$ 倍)、内分点の軌跡(比に応じた縮小)にそのまま拡張できる。円だけでなく、直線や放物線が動く問題でも同じ映像が通用する。

数学Cの複素数平面では、この変換が $w = \frac{z}{3} + \frac{4}{3}$ という1本の式になる。「点の対応=式の変形」という対応表が、軌跡の問題全体を貫く背骨である。

答

円 $(x - \frac{4}{3})^{2} + y^{2} = \frac{4}{9}$

「軌跡を点ごとでなく、図形ごと写す」見方をすると、計算が観察に変わる。

重心の式は $G = \frac{O + A + P}{3} = (\frac{4}{3}, 0) + \frac{P}{3}$ と書き直せる。

つまり $G$ は、 $P$ を $\frac{1}{3}$ に縮小して、 $(\frac{4}{3}, 0)$ だけ平行移動した点だ。

$P$ が描く図形(原点中心・半径 $2$ の円)も、丸ごと同じ変換を受ける。円は縮小しても平行移動しても円のままだから、軌跡は

中心 $(\frac{4}{3}, 0)$ 、半径 $\frac{2}{3}$ の円、すなわち $(x - \frac{4}{3})^{2} + y^{2} = \frac{4}{9}$ 。

「 $P$ の円がどこへ、どんな大きさで写るか」という映像で捉えると、答えの検算(中心は $P$ の中心の像か、半径は $\frac{1}{3}$ 倍か)も一瞬で済む。