絶対値の和の領域

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 絶対値が2つ。正攻法は、$x,y$ の符号による4つの場合分けだ。

各象限で絶対値が外れて、$\pm x\pm y\le 2$ という1次不等式になる。4本の直線が境界だ。

4枚の図を重ねると、$(2,0)$、$(0,2)$、$(-2,0)$、$(0,-2)$ を頂点とするひし形(正方形)が現れる。

$x$、$y$ の符号で場合分けすると、各象限で境界は

$$x+y=2,-x+y=2,-x-y=2,x-y=2$$

の4本の直線。これらで囲まれた、頂点が $(2,0)$、$(0,2)$、$(-2,0)$、$(0,-2)$ のひし形の周と内部が領域。

発展 — 一歩先へ。 $|x|+|y|$ は「原点からの、碁盤の目に沿った距離」と読める(タクシー距離と呼ばれる)。この距離で「原点から $2$ 以内」を描いたのが今日のひし形で、ふつうの距離なら円になるところだ。距離の測り方を変えると「円」の形が変わる、という感覚は味わい深い。

$|x|+|y|=2$ の周だけを描けば正方形の枠。等号と不等号、周と内部の対応も、この図で一目になる。

別解

対称性を先に使うと、場合分けが1つで済む。

式 $|x|+|y|\le 2$ は、$x$ を $-x$ に変えても、$y$ を $-y$ に変えても、まったく同じ式のままだ。つまり領域は $x$ 軸についても $y$ 軸についても対称である。

だから第1象限($x\ge 0$、$y\ge 0$)だけ調べればよい。そこでは絶対値がそのまま外れて

$$x+y\le 2$$

原点・$(2,0)$・$(0,2)$ の三角形だ。

これを $x$ 軸・$y$ 軸で折り返して4枚に増やせば、ひし形の全体が完成する。

「式の対称性 → 図の対称性 → 一部だけ計算して複製」。この省力化は、$|x-1|+|y|\le 2$ のような平行移動版や、絶対値が3つ以上の複雑な式ほど効いてくる。