領域上の距離の最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(x-3{)}^2+(y-3{)}^2$ は、定点 $(3,3)$ から点 $(x,y)$ までの距離の $2$ 乗だ。

だから求めるのは「領域の中で $(3,3)$ に最も近い点」。

定点 $(3,3)$ は領域の外にある。外にあるなら、最も近い点は境界の上(辺への垂線の足か頂点)にある。

① 式の意味を読みかえる。 $(x-3{)}^2+(y-3{)}^2$ は、定点 $(3,3)$ から点 $(x,y)$ までの距離の2乗。だから「領域の中で $(3,3)$ に最も近い点」を探せばよい。

② 定点が領域の内か外かを確認する。 $(3,3)$ は $3+3=6>4$ なので、領域 $x+y\le 4$ の外にある。定点が外なら、最も近い点は領域の境界の辺の上にある。

③ 辺への垂線の足を求める。 いちばん近い辺は $x+y=4$。$(3,3)$ からこの辺へ垂線を下ろすと、足は法線方向 $(1,1)$ に $1$ だけ戻った点 $(2,2)$。この点は辺の端点 $(4,0)$ と $(0,4)$ の間にあるので、領域の点として採用できる。

④ 最小値を計算する。

$$(2-3{)}^2+(2-3{)}^2=1+1=2$$

まとめ:$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2$ は「定点からの距離の2乗」。定点が領域の外なら、最も近い辺へ垂線を下ろした足が最近点(足が辺からはみ出すときは端点でとる)。

発展 — 一歩先へ。 定点から凸な領域への最短点は、ただ $1$ つに定まる(凸集合への「射影」)。その最近点は、辺への垂線の足か、さもなくば領域の頂点のどちらかだ。

最近点 $(2,2)$ では、$(3,3)$ を中心とする円がちょうど辺 $x+y=4$ に接している。距離を表す円の等高線が、境界に接する場所が最短点、という見方だ。

もし定点が領域の内側にあれば、最短距離は $0$(その点自身)。「点から凸領域への最短距離」は、最小二乗法や最適化で繰り返し現れる基本の操作で、射影という名で呼ばれる。

発展 — 一歩先へ。 定点から凸な領域への最短点は、ただ $1$ つに定まる(凸集合への「射影」)。その最近点は、辺への垂線の足か、さもなくば領域の頂点のどちらかだ。

最近点 $(2,2)$ では、$(3,3)$ を中心とする円がちょうど辺 $x+y=4$ に接している。距離を表す円の等高線が、境界に接する場所が最短点、という見方だ。

もし定点が領域の内側にあれば、最短距離は $0$(その点自身)。「点から凸領域への最短距離」は、最小二乗法や最適化で繰り返し現れる基本の操作で、射影という名で呼ばれる。

別解

別解 — 境界を $1$ 変数の $2$ 次式に落とす(得意な人向けの計算ルート)。 垂線の足を図で求める代わりに、境界の上で式を最小化する。

まず頂点での値を見る。$(0,0)\to 18$、$(4,0)\to 10$、$(0,4)\to 10$。次に $3$ つの辺の内部を調べる。

いちばん小さくなるのは辺 $x+y=4$ の上だ。$y=4-x$($0\le x\le 4$)を代入すると

$$(x-3{)}^2+(1-x{)}^2=2x^2-8x+10.$$

これは下に凸の $2$ 次式で、頂点は $x=2$。値は $2\cdot 4-16+10=2$。$x=2$ は範囲 $0\le x\le 4$ の中にあり、点は $(2,2)$。

他の $2$ 辺($x=0$、$y=0$)では最小が $9$ で、これより大きい。よって領域全体での最小値は $2$。垂線の足を幾何で出す本解と同じで、辺ごとに $2$ 次式へ落とせば図形の性質を使わずに詰められる。