円板上の積の最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円板の上で $xy$ の最大最小を求める。

道具は「$2$ 乗は $0$ 以上」という、いつでも成り立つ不等式だ。$(x-y{)}^2\ge 0$ と $(x+y{)}^2\ge 0$ から $xy$ を上下に挟む。

$2$ 乗の非負性で積を評価する。これは $x=y$、$x=-y$ で端をとる幾何とも一致する。

① 最大側の不等式を作る。 実数の2乗は $0$ 以上なので $(x-y{)}^2\ge 0$。展開すると $x^2-2xy+y^2\ge 0$、つまり $x^2+y^2\ge 2xy$。

② 円板の条件と組み合わせる。 領域は $x^2+y^2\le 4$。上の式とつなぐと $2xy\le x^2+y^2\le 4$ なので

$$xy\le 2$$

等号は $x=y$ かつ $x^2+y^2=4$、すなわち $(x,y)=(\sqrt{2},\sqrt{2})$ などのとき。

③ 最小側も同じ要領で。 今度は $(x+y{)}^2\ge 0$ から $x^2+y^2\ge -2xy$、つまり $-2xy\le 4$ なので

$$xy\ge -2$$

等号は $x=-y$ のとき。

まとめると最大値 $2$、最小値 $-2$。

まとめ:$xy$ の最大最小は、$(x\mp y{)}^2\ge 0$ から $x^2+y^2\ge \pm 2xy$ を作り、円板の条件 $x^2+y^2\le 4$ とつなぐ。等号成立($x=y$ / $x=-y$)が最大・最小をとる点。

発展 — 一歩先へ。 座標軸を $45^{\circ }$ 回して $u=\frac{x+y}{\sqrt{2}}$、$v=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$ とおくと、$xy=\frac{u^2-v^2}{2}$、$x^2+y^2=u^2+v^2$ になる。

円板 $u^2+v^2\le 4$ の上で $\frac{u^2-v^2}{2}$ は、$v=0$ で最大 $2$、$u=0$ で最小 $-2$。回した軸で見ると、$xy$ の最大最小が素直に読める。

$xy=c$ の等高線は直角双曲線で、$c$ が $\pm 2$ のとき円 $x^2+y^2=4$ に接する。この $\pm 2$ は、$2$ 次形式 $xy$ の固有値 $\pm \frac{1}{2}$ に円の半径の $2$ 乗 $4$ を掛けた値でもある。「回して主軸に直す」見方は、$2$ 次形式の最大最小を統一的に扱う入口だ。

発展 — 一歩先へ。 座標軸を $45^{\circ }$ 回して $u=\frac{x+y}{\sqrt{2}}$、$v=\frac{x-y}{\sqrt{2}}$ とおくと、$xy=\frac{u^2-v^2}{2}$、$x^2+y^2=u^2+v^2$ になる。

円板 $u^2+v^2\le 4$ の上で $\frac{u^2-v^2}{2}$ は、$v=0$ で最大 $2$、$u=0$ で最小 $-2$。回した軸で見ると、$xy$ の最大最小が素直に読める。

$xy=c$ の等高線は直角双曲線で、$c$ が $\pm 2$ のとき円 $x^2+y^2=4$ に接する。この $\pm 2$ は、$2$ 次形式 $xy$ の固有値 $\pm \frac{1}{2}$ に円の半径の $2$ 乗 $4$ を掛けた値でもある。「回して主軸に直す」見方は、$2$ 次形式の最大最小を統一的に扱う入口だ。

別解

別解 — 円周上を角度で表して $2$ 倍角にする(得意な人向けの視点)。 最大最小は境界の円周でとる。中心から遠いほど積の絶対値が大きくなるからだ(半径 $r<2$ の点を円周まで $\frac{2}{r}$ 倍に伸ばすと、$xy$ は $(\frac{2}{r}{)}^2$ 倍に増える)。

そこで円周を $x=2\cos \theta$、$y=2\sin \theta$ と表す。

$$xy=4\cos \theta \sin \theta =2\sin 2\theta .$$

$\sin 2\theta$ は $-1$ から $1$ まで動くので、$xy$ は $-2$ から $2$ まで。最大 $2$($2\theta =\frac{\pi }{2}$、すなわち $x=y=\sqrt{2}$)、最小 $-2$($x=-y=\sqrt{2}$)。

$2$ 乗の非負性で挟む本解と同じ答え。円周を角度で表すと、$xy=2\sin 2\theta$ という $1$ つの三角関数に化け、最大最小が振れ幅からすぐ読める。