直線の族の通過領域

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$a$ を動かした直線が通る領域」。発想の転換をする。点 $(x,y)$ を固定して、「この点を通す $a$ が存在するか」と問い直す。

$y=2ax-a^2$ を $a$ について整理すると $a^2-2xa+y=0$。これは $a$ の$2$次方程式だ。

点 $(x,y)$ が通過される $⟺$ この方程式が実数解 $a$ をもつ $⟺$ 判別式 $\ge 0$。$4x^2-4y\ge 0$、すなわち $y\le x^2$。放物線 $y=x^2$ とその下側。

① $a$ の方程式にする。 $y=2ax-a^2$ を $a$ について整理すると

$$a^2-2xa+y=0$$

② 実数解をもつ条件。 この $a$ の $2$ 次方程式が実数解をもつのは判別式 $\ge 0$:

$$\frac{D}{4}=x^2-y\ge 0⟹y\le x^2$$

③ 結論。 通過する領域は $y\le x^2$、すなわち放物線 $y=x^2$ とその下側。

まとめ:通過領域は「点を固定し、パラメータの方程式が実数解をもつ条件(判別式)」。$y=2ax-a^2$ は放物線 $y=x^2$ の各点での接線の族で、その包絡線が $y=x^2$。境界の放物線を含む($\le$)ことに注意。

発展 — 一歩先へ。 境界 $y=x^2$ は、直線族のどの$1$本とも接する曲線=包絡線。定規を少しずつずらして描く模様、ヘッドライトの光が壁に作る明るい縁など、直線の族が曲線を浮かび上がらせる現象は身近にもある。通過領域の境界に接線族の包絡線が現れるのは、この単元の「直交2接線→準線」とも通じる。

別解

別解 — 放物線 $y=x^2$ の接線族として正体を見る(得意な人向けの高い視点)。 放物線 $y=x^2$ の $x=a$ での接線を書くと、傾き $2a$、接点 $(a,a^2)$ だから

$$y=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2.$$

与えられた直線族そのものだ。つまり「$y=x^2$ のすべての接線が掃く領域」を聞いている。

差を計算すると $x^2-(2ax-a^2)=(x-a{)}^2\ge 0$。どの接線も放物線の下側にあり、接点でだけ触れる。だから接線たちが塗りつぶすのは放物線の下側 $y\le x^2$ の全体(各点はその真上の放物線の接線のどれかが通る)。

判別式(本解)が出した $y\le x^2$ の図形的な種明かし。境界 $y=x^2$ は、直線族のどの $1$ 本とも接している曲線=包絡線。直線の族が曲線を浮かび上がらせる現象で、光の焦線などにも現れる。