和と積の描く軌跡

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $X=x+y,Y=xy$ という基本対称式が主役だ。条件式を対称式で書き替える。$x^2+y^2=(x+y{)}^2-2xy=X^2-2Y$。これで乗るべき曲線 $X^2-2Y=1$ は一瞬で出る。

だが軌跡の問題はここで終わらない。逆に、曲線上の点 $(X,Y)$ を与えたとき、それを和と積にもつ実数 $x,y$ が存在するか。$x,y$ は $t^2-Xt+Y=0$ の2解だから、実数条件は判別式 $X^2-4Y\ge 0$。この存在条件が軌跡の「端」を決める。

① 乗る曲線を求める。

$$1=x^2+y^2=X^2-2Y⟺Y=\frac{X^2-1}{2}$$

② 存在条件で範囲を切る。 $x,y$ は $t$ の2次方程式 $t^2-Xt+Y=0$ の2つの実数解(重解も可)だから

$$X^2-4Y\ge 0⟺X^2-2(X^2-1)\ge 0⟺X^2\le 2$$

すなわち $-\sqrt{2}\le X\le \sqrt{2}$。

③ 端の確認。 $X=\sqrt{2}$ のとき $Y=\frac{1}{2}$ で判別式0。$x=y=\frac{\sqrt{2}}{2}$(円上の点)で実現する。$X=-\sqrt{2}$ も同様。よって軌跡は

$$\text{放物線}Y=\frac{X^2-1}{2}\text{の}-\sqrt{2}\le X\le \sqrt{2}\text{の部分(両端含む)}$$

まとめ: 対称式の平面へうつす軌跡は、「恒等式で方程式」+「判別式で範囲」の2段が型だ。範囲を落とすと放物線全体と答えてしまう。存在条件こそが、軌跡の輪郭を切り出す刃である。

発展 — 一歩先へ。 この写像は2対1になっている。$(x,y)$ と $(y,x)$ は同じ $(X,Y)$ にうつるからだ(和と積は順序を忘れる)。円周を1周すると、放物線の弧を「行って帰って」2回なぞる。軌跡の形だけでなく、なぞられ方まで見えると理解が深まる。

別解

円のパラメータで順手に(合成で範囲が出るルート)。 円上の点を $x=\cos \theta ,y=\sin \theta$ と書いて、$X,Y$ を直接計算してもよい。

$$X=\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$$

合成の形から、$X$ の動く範囲は即座に $-\sqrt{2}\le X\le \sqrt{2}$(すべて実現)。また

$$Y=\cos \theta \sin \theta =\frac{(\cos \theta +\sin \theta {)}^2-1}{2}=\frac{X^2-1}{2}$$

で、つねに放物線の上に乗っている。

存在条件(判別式)を考える必要がない代わりに、三角関数の合成が範囲を教えてくれる。逆手(本解)と順手(本ルート)のどちらでも同じ弧に着地する — 軌跡の2大アプローチの練習台として、この問題は格好の素材だ。