数学II / 軌跡と領域

絶対値を含む領域

★ 基礎領域絶対値

問題

不等式 $y \geq ∣ x ∣$ の表す領域を図示せよ。

ヒントを見る

絶対値は場合分けで外す。 $x$ が正のときと負のときで境界の直線が変わる。まず境界のV字をかいてから、上下どちら側かを判定しよう。

解答・解説

方針

$∣ x ∣$ は $x$ の符号で場合分けする。 $x \geq 0$ では $y \geq x$ 、 $x < 0$ では $y \geq - x$ 。2本の直線でできるV字の上側が領域。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y ≧ ∣ x ∣$ — 絶対値があるので、まず外す。

中身 $x$ の符号で場合分けする。

$x ≧ 0$ のとき: $∣ x ∣ = x$ なので

$y ≧ x$

$x < 0$ のとき: $∣ x ∣ = - x$ なので

$y ≧ - x$

つまり、右半分では直線 $y = x$ の上側、左半分では直線 $y = - x$ の上側。

$2$ つを合わせると、原点から左右に開いた $V$ 字( $y = ∣ x ∣$ のグラフ)の内側、つまり上側の領域になる。

$y = ∣ x ∣$ のグラフは $V$ 字( $x ≧ 0$ で $y = x$ 、 $x < 0$ で $y = - x$ )。その上側だ。

境界を含む( $≧$ なので実線)。

絶対値のグラフを描いてから、上下を判定する — この順序が確実である。

公式

∣ x ∣ = {x - x (x \geq 0) (x < 0)

。場合分けで境界を作る

$x \geq 0$ のときは $y \geq x$ 、 $x < 0$ のときは $y \geq - x$ 。

境界は2本の直線 $y = x$ と $y = - x$ でできるV字。その上側(内側)が領域。等号つきなので境界も含む。

y=|x| でできるV字の上側

発展 — 一歩先へ。 $y = ∣ x ∣$ という関数には、 $1$ つ有名な特徴がある。原点で尖っていることだ。

この尖りは、微分の世界で問題を起こす。

$y = ∣ x ∣$ の傾きは

$x > 0$ では $+ 1$
$x < 0$ では $- 1$
$x = 0$ では?

左から近づくと $- 1$ 、右から近づくと $+ 1$ — $2$ つの値が食い違う。

したがって $x = 0$ では微分できない(微分不可能という)。関数はつながっている(連続である)のに、傾きが定まらない。

「連続だが微分できない点」 — その代表例が、この $V$ 字の頂点である。

この事実は、機械学習で実際に問題になる。 誤差を測る関数として $∣ 予測 - 正解 ∣$ (絶対誤差)を使うと、誤差が $0$ の点で微分できない。学習アルゴリズムは微分を頼りに進むので、そこで動けなくなってしまう。

だから多くの場合、 $(予測 - 正解)^{2}$ ( $2$ 乗誤差)が使われる。 $2$ 乗ならどこでも滑らかで、微分できるからだ(統計の分散が $2$ 乗を使う理由の $1$ つでもある)。

「尖っている」か「滑らか」か。 この違いが、道具の使い勝手を決める。

さらに驚くべき事実。 $19$ 世紀に、「どこでも連続なのに、どこでも微分できない関数」(ワイエルシュトラス関数)が発見された。 $V$ 字の尖りが、 $1$ 点どころかすべての点にあるような関数だ。

当時の数学者たちは「病的な関数だ」と嫌悪した。 しかし現代では、そうした関数こそがフラクタルとして、株価の変動や海岸線の形を記述している。

$y = ∣ x ∣$ の $1$ つの尖り。 そこから、滑らかさとは何か、という問いが始まる。

答

2直線 $y = x$ ( $x \geq 0$ )と $y = - x$ ( $x \leq 0$ )の上側(V字の内側、境界を含む)

別解

この領域を、「角度」で読む見方がある。 図形的な直感が働くようになり、応用にもつながる。

まず、代入判定で形を確かめよう。

点	$y ≧ ∣ x ∣$ か	判定
$(0, 3)$	$3 ≧ 0$ ✓	領域内
$(2, 3)$	$3 ≧ 2$ ✓	領域内
$(- 2, 3)$	$3 ≧ 2$ ✓	領域内
$(3, 1)$	$1 ≧ 3$ ✗	領域外
$(0, - 1)$	$- 1 ≧ 0$ ✗	領域外
$(2, 2)$	$2 ≧ 2$ ✓	境界上(含む)

「真上」は領域内、「真横」や「真下」は領域外。

角度で読む。

原点から見て、点の方向を角度 $θ$ ( $x$ 軸の正の向きから測る)で表すと、この領域は

$4 5^{\circ} ≦ θ ≦ 13 5^{\circ}$

「真上を中心に、左右 $4 5^{\circ}$ ずつ開いた扇形(無限に広がる)」 である。

なぜ $4 5^{\circ}$ か。 境界の直線 $y = x$ の傾きが $1$ 、つまり $4 5^{\circ}$ の直線だからだ。 $y = - x$ は $13 5^{\circ}$ 。

この見方の便利さ。

「 $y ≧ ∣ x ∣$ の領域内の点は、 $y$ 座標が $x$ 座標の絶対値以上」 — つまり横に進んだ距離より、上に進んだ距離のほうが大きいということだ。

傾きが $4 5^{\circ}$ より急な方向にある点、と読める。

別の見方: $y ≧ ∣ x ∣$ は、 $2$ つの不等式の"かつ"に書き直せる。

$y ≧ ∣ x ∣ ⟺ {y ≧ x y ≧ - x$

なぜ「かつ」なのか。 $∣ x ∣$ は $x$ と $- x$ の大きいほうだから、 $y$ が $∣ x ∣$ 以上ということは、 $y$ が $x$ 以上でもあり、 $- x$ 以上でもあるということ。

$∣ x ∣ = max (x, - x)$

$max$ 以上 $=$ 両方以上。

この書きかえは強力だ。 絶対値を外す場合分けが不要になり、連立不等式(問題6でやったこと)に帰着する — $2$ 直線 $y = x$ 、 $y = - x$ の上側の共通部分、と読めばよい。

逆に、 $y ≦ ∣ x ∣$ なら?

$y ≦ ∣ x ∣ ⟺ y ≦ x または y ≦ - x$

今度は「または」になる。 $∣ x ∣$ は $x$ と $- x$ の大きいほうだから、 $y$ がそれ以下ということは、大きいほうより下にいればよい — 片方だけ満たせば十分なのだ。

$≧$ なら「かつ」、 $≦$ なら「または」。 混同しやすいが、 $max$ の意味に戻れば必ず判断できる。

絶対値は「 $max$ の変装」 — この見方を持っておくと、場合分けの迷いが減る。

ポイント

絶対値は符号で場合分けして境界を2本つくる。
$y \geq ∣ x ∣$ はV字の内側(上側)。

よくある間違い

$y = ∣ x ∣$ のグラフをV字でなく直線1本だと思ってしまう
$x < 0$ の側で $y \geq - x$ とすべきところを $y \geq x$ のままにする
$y \geq ∣ x ∣$ を「または」でつないでしまう( $\geq$ のときは「かつ」。 $∣ x ∣$ は $x$ と $- x$ の大きいほう)