領域上の距離の最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^2+y^2$ を「式」でなく「距離」として読む。原点から点 $(x,y)$ までの距離の2乗だ。

すると問題は「原点から、円板上の点までの距離の最大・最小」に化ける。

原点と円の中心 $(3,4)$ を結ぶ直線を引けば、いちばん遠い点と近い点はその直線上にある。中心までの距離 $5$ に、半径 $2$ を足し引きして、距離は最大 $7$・最小 $3$。2乗して $49$ と $9$ だ。

① $x^2+y^2$ の意味を読みかえる。 $x^2+y^2$ は、原点 $\mathrm{O}$ から点 $\mathrm{P}(x,y)$ までの距離 $\mathrm{OP}$ の2乗。だから「$\mathrm{OP}$ が円板の上でどこまで大きく・小さくなるか」を考えればよい。

② 原点から円の中心までの距離を出す。 円の中心 $\mathrm{C}(3,4)$、半径 $2$。

$$\mathrm{OC}=\sqrt{3^2+4^2}=5$$

③ 中心を通る向きで、±半径。 原点から見て、円板の上で $\mathrm{OP}$ が最大になるのは中心のさらに向こう側($\mathrm{OC}$ に半径を足す)、最小はこちら側(引く)。

$${\mathrm{OP}}_{\max }=5+2=7,{\mathrm{OP}}_{\min }=5-2=3$$

④ 最後に2乗する。 求めるのは $x^2+y^2={\mathrm{OP}}^2$ なので

$$\max =7^2=49,\min =3^2=9$$

まとめ:$x^2+y^2$ は「原点からの距離の2乗」。円板上の距離の最大最小は、中心までの距離 $\pm$ 半径。最後に2乗するのを忘れない。

発展 — 一歩先へ。 「式に図形の意味を与える」翻訳の辞書を増やすことが、この単元の実力そのものだ。$x^2+y^2$ は原点からの距離の2乗、$\frac{y}{x}$ は原点と結ぶ直線の傾き、$x+y$ は直線の切片。式の顔ぶれを見て、どの図形量かを言い当てる。

今回の「中心を通る直線上で最大・最小」は、点と円の距離の一般原理($d\pm r$)であり、2円の最近点・最遠点の問題にもそのまま伸びる。

別解

円周上の点を角度で表す、パラメータ計算のルートもある(最大・最小は境界の円周上で起きる)。

円周上の点は $x=3+2\cos \theta$、$y=4+2\sin \theta$ と書ける。代入して展開すると

$$x^2+y^2=29+12\cos \theta +16\sin \theta$$

$12\cos \theta +16\sin \theta$ は三角関数の合成で $20\sin (\theta +\alpha )$ の形になり、$-20$ から $20$ まで動く。

よって $x^2+y^2$ は最小 $29-20=9$、最大 $29+20=49$。

図形ルート $(5\pm 2{)}^2$ と一致する。合成の振幅 $\sqrt{12^2+16^2}=20$ が「$2\times (\text{中心距離})\times (\text{半径})$」に等しいのは偶然ではなく、2つの解法が同じ幾何を別の言葉で語っている証拠だ。三角関数の道具がそろってくると、この機械的ルートも選択肢に加わる。