動く弦の中点の軌跡

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 弦の中点 $\mathrm{M}$ を代数で追うと大変だ。

図形の事実を使う。弦の中点は、中心 $\mathrm{O}$ から弦へ下ろした垂線の足。だから $\mathrm{OM}\perp$ 弦。

弦の傾きが $2$ なら、垂直な $\mathrm{OM}$ の傾きは $-\frac{1}{2}$。この幾何的性質から、$\mathrm{M}$ の満たす関係が決まる。

弦の中点 $\mathrm{M}$ は、中心 $\mathrm{O}$ から直線(弦)へ下ろした垂線の足。よって $\mathrm{OM}$ は弦に垂直。

弦(直線 $y=2x+k$)の傾きは $2$。垂直なので $\mathrm{OM}$ の傾きは $-\frac{1}{2}$。$\mathrm{M}$ は原点を通る傾き $-\frac{1}{2}$ の直線上にある。

$$y=-\frac{1}{2}x$$

ただし、弦ができるのは直線が円と2点で交わるときだけなので、$\mathrm{M}$ は円の内部にある部分に限る。

発展 — 一歩先へ。 ここで得た直線 $y=-\frac{1}{2}x$ は、円の中心を通り、弦に垂直だ。一般に「傾きが等しい平行な弦」の中点は、どれもこの $1$ 本の直径の上に並ぶ(直径は平行な弦を二等分する)。

弦の向きを固定する代わりに、弦がすべて $1$ つの定点を通るように変えると、中点の軌跡は今度は円になる。中心と定点を結ぶ線分を直径とする円だ。

「中点=中心からの垂線の足」という一言が、これらをまとめて説明する。弦をどう動かすか(向き一定か、定点を通すか)で、中点の描く図形は直線にも円にもなる。

発展 — 一歩先へ。 ここで得た直線 $y=-\frac{1}{2}x$ は、円の中心を通り、弦に垂直だ。一般に「傾きが等しい平行な弦」の中点は、どれもこの $1$ 本の直径の上に並ぶ(直径は平行な弦を二等分する)。

弦の向きを固定する代わりに、弦がすべて $1$ つの定点を通るように変えると、中点の軌跡は今度は円になる。中心と定点を結ぶ線分を直径とする円だ。

「中点=中心からの垂線の足」という一言が、これらをまとめて説明する。弦をどう動かすか(向き一定か、定点を通すか)で、中点の描く図形は直線にも円にもなる。

別解

別解 — $2$ 交点を求めて中点を座標で出す(得意な人向けの計算ルート)。 幾何の性質を使わず、交点そのものを追う。

直線 $y=2x+k$ を円 $x^2+y^2=1$ に代入する。

$$x^2+(2x+k{)}^2=1⟹5x^2+4kx+(k^2-1)=0.$$

$2$ 交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とすると、解と係数の関係で $x_1+x_2=-\frac{4k}{5}$。中点の座標は

$$x_{\mathrm{M}}=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{2k}{5},y_{\mathrm{M}}=2x_{\mathrm{M}}+k=\frac{k}{5}.$$

$k$ を消すと $x_{\mathrm{M}}=-2y_{\mathrm{M}}$、すなわち $y=-\frac{1}{2}x$。

$2$ 点で交わる条件は判別式 $>0$、つまり $16k^2-20(k^2-1)>0$ から $k^2<5$。このとき ${\mathrm{OM}}^2=x_{\mathrm{M}}^2+y_{\mathrm{M}}^2=\frac{k^2}{5}<1$ なので、$\mathrm{M}$ は円の内部を動く。垂線の足を使う本解と同じ直線 $y=-\frac{1}{2}x$(円の内部)で、動く範囲まで式で確かめられる。