数学II / 軌跡と領域

領域と最大・最小(頂点)

★★ 標準領域最大最小

問題

点 $(x, y)$ が連立不等式 $x \geq 0$ 、 $y \geq 0$ 、 $x \leq 4$ 、 $y \leq 3$ 、 $x + y \leq 6$ の表す領域を動くとき、 $2 x + y$ の最大値を求めよ。

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まず領域を正確にかく — 境界どうしの交点(頂点)がどこにできるかが勝負。最大を与える候補は頂点に絞れるので、すべての頂点で値を比べよう。

解答・解説

領域は5つの直線で囲まれた多角形。 $2 x + y = k$ の直線を動かすと、領域からはみ出る直前の頂点で最大。全頂点の値を調べる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2 x + y = k$ とおくと、これは傾き $- 2$ の直線の族だ。 $k$ を大きくすると、直線は右上へ平行移動する。

領域と共有点を保てる限界まで $k$ を上げると、最後に触れているのは領域の頂点(角)になる。

だから候補は頂点だけ。全頂点で $2 x + y$ を計算して比べれば最大が決まる。「直線を滑らせて、最後に残る角を探す」映像を持って計算する。

重要領域上の1次式の最大・最小は、領域の頂点でとる

① 領域の頂点をすべて求める。 領域は5つの境界で囲まれた多角形。角 $(4, 3)$ は $x + y \leq 6$ を破る( $4 + 3 = 7 > 6$ )ので切り取られる。残る頂点は

$(0, 0), (4, 0), (4, 2), (3, 3), (0, 3)$

② 各頂点で $2 x + y$ を計算する。 なぜ頂点だけ調べればよいか。 $2 x + y = k$ は傾き一定の直線で、 $k$ を動かすと平行に動く。領域と最後に触れるのは必ず「角(頂点)」だから、頂点だけ調べれば足りる。

$0, 8, 10, 9, 3$

③ いちばん大きい値を選ぶ。 最大は $(4, 2)$ での $10$ 。

5角形の領域。頂点(4,2)で 2x+y が最大

まとめ:領域上の1次式の最大最小は、直線 $2 x + y = k$ を動かして「領域に最後に触れる頂点」でとる。切り取られる角(すべての制約を満たさない点)を頂点に入れないよう注意。

発展 — 一歩先へ。 「最適解は頂点にある」というこの原理は、線形計画法の基本定理と呼ばれ、産業の生産計画・輸送・配合の最適化を支える実用数学の入り口だ。次の文章題で、その現実の顔に出会う。

目的の傾きが辺の傾きとぴったり一致すると、最大の点は1点でなく辺全体になる。「答えが無数にある」場合の存在も、直線を滑らせる映像から自然に読み取れる。

答

最大値 $10$ (点 $(4, 2)$ のとき)

全頂点を調べず、「傾きの挟み撃ち」で最大の頂点を1点に絞る方法もある。

目的の直線 $2 x + y = k$ の傾きは $- 2$ 。領域の右上側の境界の傾きを並べると、 $x + y = 6$ が傾き $- 1$ 、 $x = 4$ が垂直(いわば傾き $- \infty$ )だ。

$- 2$ は $- 1$ より急で、垂直よりは緩い。つまり目的の直線の傾きは、2つの境界の傾きのあいだにある。

このとき最大は、その2辺が出会う頂点 — $x = 4$ と $x + y = 6$ の交点 $(4, 2)$ — でとられる。

$2 \times 4 + 2 = 10$

頂点5個の総当たりと同じ結論に、比較2回で着く。目的の式の係数が変わって傾きが動くと、最適な頂点が乗り移っていく。その乗り移りの瞬間(傾きが辺と一致し、辺全体で最大になる)まで見えると、この型は完全に手の内に入る。