数学II / 軌跡と領域

区間に解をもつ条件のパラメータ平面

最難関編解の配置領域の図示

問題

$a, b$ を実数とする。 $x$ の2次方程式

$x^{2} - 2 a x + b = 0$

が $- 1 \leq x \leq 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつような点 $(a, b)$ の全体を、横軸 $a$ ・縦軸 $b$ の平面に図示せよ。

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x の世界の「解の配置」を、(a, b) の世界の「領域」へ翻訳する問題。配置条件を書き下ろしたとき、それぞれの式は ab 平面でどんな曲線・直線の上下を表すか。境界どうしが接する点にも意味がある。

解答・解説

方針

g(x)=x²−2ax+b の区間 [−1,1] での解の存在条件を「またぎ型 g(−1)g(1)≤0」と「内部型 D≥0・軸・両端≥0」に分けて書き、それぞれを ab 平面の不等式として読む。境界の放物線 b=a² と2直線 b=±2a−1 が (±1,1) で接する構図をつかむと図が確定する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「 $x$ の方程式が区間に解をもつ」条件は、いつも通りまたぎ型と内部型で書ける。

本問の新しさは、その条件を $x$ ではなく $(a, b)$ 平面の領域として描き直すことだ。条件式の1本1本が、 $ab$ 平面では直線 $b = \pm 2 a - 1$ や放物線 $b = a^{2}$ の上下として読める。

境界たちの位置関係(2直線が放物線に接する)まで確かめれば、領域の形は一意に定まる。

重要区間

[- 1, 1]

に解 ⟺

g (- 1) g (1) \leq 0

(またぎ型)または「

D \geq 0

かつ軸が区間内かつ

g (\pm 1) \geq 0

」(内部型)。各式を

(a, b)

の不等式として読み替える

① 条件を書き下ろす。 $g (x) = x^{2} - 2 a x + b$ について $g (1) = 1 - 2 a + b$ 、 $g (- 1) = 1 + 2 a + b$ 、 $D /4 = a^{2} - b$ 、軸は $x = a$ 。求める条件は

またぎ型: $(1 + 2 a + b) (1 - 2 a + b) \leq 0$
内部型: $b \leq a^{2}$ かつ $- 1 \leq a \leq 1$ かつ $b \geq 2 a - 1$ かつ $b \geq - 2 a - 1$

の少なくとも一方。

② 境界の構図を読む。 $ab$ 平面で、またぎ型は2直線 $b = 2 a - 1$ と $b = - 2 a - 1$ の「一方の上・他方の下」(2直線が作るX字の左右の部分)。内部型は放物線 $b = a^{2}$ の下側のうち、2直線の上側で $- 1 \leq a \leq 1$ の部分。ここで

$a^{2} - (2 a - 1) = (a - 1)^{2} \geq 0, a^{2} - (- 2 a - 1) = (a + 1)^{2} \geq 0$

だから放物線は2直線のつねに上側にあり、 $(1, 1)$ と $(- 1, 1)$ でそれぞれ接する。内部型の領域は、放物線と2直線に囲まれた曲線三角形になる。

③ 図示する。 2つをあわせた領域が答えだ。X字の帯(またぎ型)の上に、接点 $(\pm 1, 1)$ で放物線の屋根がかぶさった形になる。

境界: 放物線 b=a²(判別式0)と2直線 b=2a−1, b=−2a−1(x=±1 が解)。2直線は放物線に (±1, 1)(赤点)で接する。領域は2直線の間の帯と、放物線の下・2直線の上の部分の和集合

まとめ: 「 $x$ の配置条件 → パラメータ平面の領域」への翻訳は、この単元の到達点のひとつ。境界の接点 $(\pm 1, 1)$ は「 $x = \pm 1$ がちょうど重解になる」瞬間で、境界どうしの接触には必ず $x$ の世界での意味が対応している。

発展 — 一歩先へ。 解の配置問題は、どれも「パラメータ平面の領域」の顔をもつ。たとえば「両解の絶対値が1未満」の条件は $(a, b)$ 平面の三角形になる(本サイトの複素数と方程式の最難関にその問題がある)。配置の言葉と領域の言葉、2つの辞書を持つと視界が一気に広がる。

答

$(1 + 2 a + b) (1 - 2 a + b) \leq 0$ または「 $b \leq a^{2}$ かつ $- 1 \leq a \leq 1$ かつ $b \geq 2 a - 1$ かつ $b \geq - 2 a - 1$ 」の表す領域(境界の2直線 $b = \pm 2 a - 1$ は放物線 $b = a^{2}$ に $(\pm 1, 1)$ で接する)

別解

$b$ について解いて、直線族の通過領域と見る(順手ルート)。 方程式 $x^{2} - 2 a x + b = 0$ を $b$ について解くと

$b = 2 a x - x^{2}$

つまり「解 $x$ をもつ $(a, b)$ 」とは、 $x$ を1つ固定したときの $ab$ 平面の直線 $b = 2 x a - x^{2}$ の上の点のこと。求める領域は、 $x$ が $- 1 \leq x \leq 1$ を動くときのこの直線族の通過領域だ。

$a$ を固定して $b$ の値域を測る。 $ψ (x) = 2 a x - x^{2} = - (x - a)^{2} + a^{2}$ は上に凸で、区間 $[- 1, 1]$ での最大は「頂点 $x = a$ が区間内なら $a^{2}$ 、外なら近い端点の値」、最小は遠い端点の値 $min (2 a - 1, - 2 a - 1)$ 。よって領域は

$min (2 a - 1, - 2 a - 1) \leq b \leq {a^{2} max (2 a - 1, - 2 a - 1) (∣ a ∣ \leq 1) (∣ a ∣ > 1)$

X字の帯と放物線の屋根が、区間最大最小の言葉で一気に出た。

実はこれ、線分の族の通過領域の問題(この単元の最初の問題)と、文字の名前が違うだけの同じ問題だ。「解の配置」と「通過領域」は、逆手と順手で結ばれた同一物の2つの顔である。

ポイント

またぎ型 $(1 + 2 a + b) (1 - 2 a + b) \leq 0$ と内部型( $b \leq a^{2}$ ほか)の和集合。
放物線 $b = a^{2}$ は2直線 $b = \pm 2 a - 1$ に $(\pm 1, 1)$ で接する。
接点は「 $x = \pm 1$ が重解」の瞬間。

よくある間違い

内部型の軸の条件 $- 1 \leq a \leq 1$ を落とす。頂点が区間の外にあると、両端の符号だけでは解が区間内に来ない。
接点 $(\pm 1, 1)$ を確認せず境界を適当に描く。接触は「 $x = \pm 1$ が重解」という意味をもつ検算ポイント。
またぎ型と内部型の重なりを気にして引き算を始める。求めるのは和集合なので、重なりはそのまま塗ってよい。