数学II / 軌跡と領域

条件式のもとでの x+y の範囲

最難関編対称式存在条件

問題

実数 $x, y$ が $x^{2} + x y + y^{2} = 3$ を満たすとき、 $x + y$ のとりうる値の範囲を求めよ。

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求めたいのが $x + y$ そのものなら、 $x + y$ と $x y$ を新しい変数にしてしまうのが早い。条件式がその2つで書けたら、残る仕事は — その和と積を実現する実数の組が本当にあるか、の1点だけ。

解答・解説

方針

s=x+y, p=xy とおくと条件式は s²−p=3 の1本になり、p が s で書ける。あとは「s, p を和と積にもつ実数 x, y が存在する」条件 s²≥4p を課すだけで、s の2次不等式に落ちる。端点の実現確認まで書く。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 求める量が $x + y$ そのものだから、 $s = x + y, p = x y$ を変数に取り替えるのが最短路だ。

条件式は対称式なので $s, p$ だけで書け、 $p$ が $s$ の式で決まってしまう。残る仕事はただ1つ。 $(s, p)$ を和と積にもつ実数 $x, y$ の存在条件 $s^{2} \geq 4 p$ だ。これが $s$ の不等式になって範囲が落ちる。

重要対称式の条件は

(s, p) = (和, 積)

に翻訳し、存在条件

s^{2} \geq 4 p

で締める。等号(端点)の実現確認までが答案

① 条件式を翻訳する。

$x^{2} + x y + y^{2} = (x + y)^{2} - x y = s^{2} - p = 3 ⟺ p = s^{2} - 3$

② 存在条件を課す。 $x, y$ は $t^{2} - s t + p = 0$ の2実数解だから

$s^{2} \geq 4 p = 4 s^{2} - 12 ⟺ 3 s^{2} \leq 12 ⟺ - 2 \leq s \leq 2$

③ 端点の実現。 $s = 2$ : $p = 1$ で $t^{2} - 2 t + 1 = (t - 1)^{2} = 0$ 、 $x = y = 1$ 。実際 $1 + 1 + 1 = 3$ ✓。 $s = - 2$ も $x = y = - 1$ で実現。よって

$- 2 \leq x + y \leq 2$

まとめ: 「対称式の条件 → $(s, p)$ 平面 → 存在条件」の3手。条件式の表す図形(傾いた楕円)を描かなくても範囲が出るのがこの路線の強みで、置き換えの副作用(存在条件)を忘れないことがすべてだ。

発展 — 一歩先へ。 条件式の正体は、45°傾いた楕円である。和と差の座標 $u = x + y, v = x - y$ に乗り換えると $3 u^{2} + v^{2} = 12$ とまっすぐになり、 $∣ u ∣ \leq 2$ が楕円の端としてそのまま見える。対称式の置換と45°回転は、同じ構造の2つの言葉だ。

答

$- 2 \leq x + y \leq 2$

別解

直線をスライドさせる(図形ルート)。 $x + y = k$ は傾き $- 1$ の直線の族だ。「 $x + y$ のとりうる値」とは、この直線が条件の曲線と共有点をもつような $k$ の範囲にほかならない。

$y = k - x$ を条件式に代入する:

$x^{2} + x (k - x) + (k - x)^{2} = 3 ⟺ x^{2} - k x + k^{2} - 3 = 0$

共有点がある ⟺ この $x$ の2次方程式が実数解をもつ ⟺ 判別式

$k^{2} - 4 (k^{2} - 3) = 12 - 3 k^{2} \geq 0 ⟺ - 2 \leq k \leq 2$

端の $k = \pm 2$ では重解、つまり直線が曲線にちょうど接する瞬間だ(接点は $x = y = \pm 1$ )。

「値の範囲=直線族が届く範囲」という図形の言葉は、線形計画法や最大最小の各所で主役になる見方。対称式ルート(本解)と代入ルート(本ルート)、どちらの翻訳も手になじませておきたい。

ポイント

$s^{2} - p = 3$ で $p = s^{2} - 3$ 。
存在条件 $s^{2} \geq 4 p$ ⟺ $s^{2} \leq 4$ 。
端 $s = \pm 2$ は $x = y = \pm 1$ で実現。

よくある間違い

存在条件 $s^{2} \geq 4 p$ の不等号の向きを逆にする。実数2解の判別式は $\geq 0$ 。
$p = s^{2} - 3$ を代入する前に存在条件を $p$ のまま使い、変数が2つ残って混乱する。先に1変数へ。
端点の実現( $x = y = \pm 1$ が条件式を満たす)の確認を省く。範囲の端は達成できて初めて答え。