連立不等式の領域

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 連立不等式の領域は、「かつ」の領域 — つまり共通部分だ。

$1$ 本ずつ、別々に領域を描いて、重なった部分を取る。

$1$ 本目 $y\geqq x$: 直線 $y=x$ の上側(境界を含む)。

$2$ 本目 $y\leqq -x+4$: 直線 $y=-x+4$ の下側(境界を含む)。

この $2$ つの共通部分。

$2$ 直線の交点を求めておくと、図が描きやすい。

$$x=-x+4⟹x=2,y=2$$

交点 $(2,2)$ を頂点とする、くさび形(V字を横に倒したような形)の領域になる。

「かつ」は共通部分(重なり)、「または」は合併(どちらかに入っていればよい) — この区別を、いつも意識する。

$y\ge x$ は直線 $y=x$ の上側(境界含む)。$y\le -x+4$ は直線 $y=-x+4$ の下側(境界含む)。

両方を同時に満たすのは、2つの領域が重なる部分。2直線ではさまれた部分になる。

発展 — 一歩先へ。 連立不等式が表す領域には、「凸(とつ)」という重要な性質がある。

凸な図形とは: 図形内の任意の $2$ 点を結ぶ線分が、すべて図形内に収まるもの。

• 凸: 円板、三角形、長方形、今回のくさび形
• 凸でない: 三日月形、星形、ドーナツ(問題 $7$ の領域)

そして、次の事実が成り立つ。

$$\boxed{\text{1 次不等式の共通部分は、必ず凸}}$$

なぜか。 $1$ 次不等式が表す「半平面」はそれ自体が凸で、凸な図形の共通部分は必ず凸になるからだ($2$ 点が両方に入っているなら、それを結ぶ線分も両方に入る)。

この「凸性」が、最適化を可能にしている。

凸な領域では、こんな都合のいいことが起こる。

• 局所的な最適解が、そのまま全体の最適解になる(「近所で一番よい点」が「全体で一番よい点」)
• 最大・最小は、必ず頂点(端)でとる($1$ 次式の場合)
• 効率的なアルゴリズムが存在する

凸でない領域だと、話は一気に難しくなる。 「近所で一番高い丘」が、実は全体で見れば低い丘かもしれない(局所最適解の罠)。機械学習の学習がうまくいかない原因の多くが、これだ。

「凸か、凸でないか」 — この一線が、解ける問題と解けない問題を分ける。現代の最適化理論は、この境界線をめぐって発展してきた。

連立不等式に色を塗る作業が、なぜこれほど大事に扱われるのか。 それは、凸領域という"扱いやすい世界"の入り口だからである。

別解

代入判定法を、連立不等式で使う。 テスト点を $1$ つ選んで全部の式に代入するだけで、その点が領域に入るか分かる。図の描き方も、これで確実になる。

テスト点 $(0,3)$ を選ぶ。($2$ 直線のどちらの上にもない点なら、どこでもよい。)

$1$ 本目に代入: $y\geqq x$ → $3\geqq 0$ ✓ 成り立つ

$2$ 本目に代入: $y\leqq -x+4$ → $3\leqq 4$ ✓ 成り立つ

両方成り立った → 点 $(0,3)$ は領域内。

この $1$ 点を含む側が、求める領域である。

別の点でも試して、境界を確かめよう。

点 $(3,1)$: $1\geqq 3$ ? → 偽($1$ 本目を満たさない)→ 領域外

点 $(1,2)$: $2\geqq 1$ ✓、$2\leqq 3$ ✓ → 領域内

点 $(2,3)$: $3\geqq 2$ ✓、$3\leqq 2$ ? → 偽 → 領域外

「領域内の点」と「領域外の点」を何個か試すと、図の形が確信を持って描ける。

この領域の形を、もう少し詳しく見よう。

$2$ 直線の交点 $(2,2)$ から、左向きに開いたくさび形である。

• 上の境界: $y=-x+4$(右下がり)
• 下の境界: $y=x$(右上がり)
• $2$ 直線は交点 $(2,2)$ で交わり、そこから左へ向かって開いていく

この領域は「無限に広がっている」 — 左方向へ、いくらでも伸びている(有界ではない)。

もし $3$ 本目の不等式($x\geqq 0$ など)を足すと、領域は閉じて三角形になる。 問題11でそれをやる。

不等式を $1$ 本足すごとに、領域は狭くなる。

$$(\text{領域})=(\text{不等式1の領域})\cap (\text{不等式2の領域})\cap \cdots$$

共通部分をとるたびに、範囲が絞られていく — 制約が増えるほど、選べる余地が減る。当たり前だが、これが最適化問題の本質だ(問題12で使う)。

答案の書き方のコツ。

• 境界線を $2$ 本とも引く(実線・破線を区別する)
• それぞれの不等式が表す側に、矢印や薄い斜線を入れておく
• 共通部分を、濃く塗る
• 「境界を含む」と注記する

$2$ 段階で塗る(まず薄く $2$ つ、次に共通部分を濃く)と、自分でも間違えないし、採点者にも伝わる。