定点から一定距離の軌跡

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「定点からの距離が一定」— これは円の定義そのものである。

答えを先に言えば、中心 $\mathrm{A}(2,0)$、半径 $3$ の円だ。

しかし、軌跡の手順に沿って式で書く練習をしておこう。この手順が、複雑な問題で効いてくる。

手順1: $\mathrm{P}(x,y)$ とおく。

手順2: 条件を式にする。

$$\mathrm{AP}=3$$

$$\sqrt{(x-2{)}^2+(y-0{)}^2}=3$$

手順3: 整理する。 両辺を $2$ 乗して根号を外す。

$$(x-2{)}^2+y^2=9$$

これが答え。 中心 $(2,0)$、半径 $3$ の円である。

$2$ 乗しても情報は失われない(両辺とも $0$ 以上だから)。安心して $2$ 乗してよい。

$\mathrm{P}(x,y)$ とおく。$\mathrm{PA}=3$、2乗して

$$(x-2{)}^2+y^2=9$$

これは中心 $(2,0)$、半径 $3$ の円そのもの。

発展 — 一歩先へ。 「定点からの距離が一定」という条件を、少し変えてみよう。驚くほど多彩な曲線が生まれる。

すべて「距離の条件」から生まれている。

$2$ 次曲線(楕円・双曲線・放物線)は、円錐を平面で切った断面としても現れる(だから「円錐曲線」と呼ばれる)。距離の条件と、円錐の切断 — まったく違う $2$ つの定義が、同じ曲線を生む。

そして、この曲線たちは宇宙を支配している。

ケプラーが発見した通り、惑星の軌道は楕円である(太陽が焦点の $1$ つ)。彗星の中には放物線や双曲線の軌道を描き、$2$ 度と戻ってこないものもある。

天体の軌道が $2$ 次曲線になる理由は、ニュートンの万有引力の法則($1/r^2$ に比例)から数学的に導かれる。「距離の $2$ 乗に反比例する力」が、「$2$ 次曲線の軌道」を生む — 力の法則と、軌道の形が、数学で結ばれている。

円の方程式を書くという素朴な作業が、天体力学の入り口に立っている。 数Cの「平面上の曲線」で、この続きが待っている。

別解

同じ円を、「媒介変数(パラメータ)」で表す方法を見ておこう。軌跡の問題で、$2$ つ目の強力な武器になる。

媒介変数表示。

中心 $(2,0)$、半径 $3$ の円上の点は、角度 $\theta$ を使って

$$\{\begin{array}{l}x=2+3\cos \theta \\ y=3\sin \theta \end{array}(0\leqq \theta <2\pi )$$

と書ける。$\theta$ を $0$ から $2\pi$ まで動かすと、点 $\mathrm{P}$ が円を $1$ 周する。

確かめよう。 ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ を使うと

$$(x-2{)}^2+y^2=(3\cos \theta {)}^2+(3\sin \theta {)}^2=9({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=9✓$$

媒介変数を消去すると、元の方程式に戻る。

この $2$ つの表し方には、それぞれの役割がある。

「判定」と「生成」— 目的が違う。

媒介変数が真価を発揮するのは、"連動する点"の軌跡だ。

たとえば「$\mathrm{P}$ がこの円上を動くとき、$\mathrm{P}$ と定点 $\mathrm{B}(8,0)$ の中点 $\mathrm{M}$ の軌跡は?」という問題。

媒介変数なら、素直に計算できる。

$$\mathrm{M}=\left(\frac{(2+3\cos \theta )+8}{2},\frac{3\sin \theta +0}{2}\right)=\left(5+\frac{3}{2}\cos \theta ,\frac{3}{2}\sin \theta \right)$$

これは、中心 $(5,0)$、半径 $\frac{3}{2}$ の円の媒介変数表示だ — 答えがそのまま読める。

$${\left(x-5\right)}^2+y^2=\frac{9}{4}$$

「$\theta$ を消去する」という作業が、軌跡を求めることになる。

媒介変数の考え方は、この先ずっと使う。

• 数C(平面上の曲線): サイクロイド、楕円、リサージュ曲線
• 数III(微分・積分): 媒介変数表示された曲線の接線・長さ・面積
• 物理: 時刻 $t$ を媒介変数として、物体の位置 $(x(t),y(t))$ を表す

「動くもの」を扱うには、媒介変数が要る。 円の方程式 $(x-2{)}^2+y^2=9$ は「そこにある」ことしか語らないが、$x=2+3\cos \theta$、$y=3\sin \theta$ は「どう動くか」まで語ってくれる。

静的な記述と、動的な記述。 $2$ つを行き来できるようになると、軌跡の問題の見晴らしがよくなる。