距離の比が一定な点の軌跡(アポロニウスの円)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「距離の比が一定」の軌跡は、条件を式にするのが第一歩。$\mathrm{P}(x,y)$ とおいて $\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=2:1$、すなわち $\mathrm{PA}=2\mathrm{PB}$ を書く。

根号のままでは扱えないので、両辺を$2$乗して ${\mathrm{PA}}^2=4{\mathrm{PB}}^2$。

座標で $x^2+y^2=4\{(x-6{)}^2+y^2\}$ と立式し、展開して整理すると円の方程式になる。これがアポロニウスの円だ。

① $\mathrm{P}(x,y)$ とおく。 条件 $\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=2:1$ を $2$ 乗して

$${\mathrm{PA}}^2=4{\mathrm{PB}}^2$$

② 立式する。 ${\mathrm{PA}}^2=x^2+y^2$、${\mathrm{PB}}^2=(x-6{)}^2+y^2$ だから

$$x^2+y^2=4\{(x-6{)}^2+y^2\}$$

③ 整理する。 右辺を展開して

$$x^2+y^2=4x^2-48x+144+4y^2⟹3x^2+3y^2-48x+144=0$$

両辺を $3$ で割り、$x$ について平方完成する。

$$x^2+y^2-16x+48=0⟹(x-8{)}^2+y^2=16$$

まとめ:距離の比の軌跡は「$2$ 乗して立式 → 整理」。比が $1$ でなければ、$x^2,y^2$ の係数がそろって円になる(アポロニウスの円)。中心 $(8,0)$、半径 $4$。$\mathrm{A},\mathrm{B}$ を結ぶ直線上で、比 $2:1$ に内分・外分する点が直径の両端になっている。

発展 — 一歩先へ。 比を $1:1$ にすると軌跡は線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線(直線)になる。比 $k:1$ の円は $k\to 1$ で巨大化し、中心が無限遠へ逃げる — 直線は「半径無限大の円」と見なせる。アポロニウスの円は、複素数平面の一次分数変換や、反転幾何で主役になる。

別解

別解 — 内分点と外分点を直径の両端と見る(得意な人向けの視点)。 軌跡の上の点を、計算の前に $2$ つ見つける。線分 $\mathrm{AB}$ 上で $\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=2:1$ となる内分点と、延長上の外分点だ。

内分点は $\mathrm{AB}$ を $2:1$ に内分する $(4,0)$($\mathrm{PA}=4,\mathrm{PB}=2$)。外分点は $2:1$ に外分する $(12,0)$($\mathrm{PA}=12,\mathrm{PB}=6$)。どちらも比 $2:1$。

軌跡は $x$ 軸対称だから、この $2$ 点は円の直径の両端。中心は中点 $(8,0)$、半径は $\frac{12-4}{2}=4$。円 $(x-8{)}^2+y^2=16$。

$2$ 乗して展開する本解と同じ結果。アポロニウスの円は、内分点と外分点を直径の両端とする円 — この $2$ 点を先に押さえると、円の中心と半径が計算なしで出る。比が $1:1$(垂直二等分線)以外なら必ず円になる。