数学II / 軌跡と領域

距離の2乗の差が一定

★★★ 応用軌跡

問題

2点 $A (- 3, 0)$ 、 $B (3, 0)$ について、 $PA^{2} - PB^{2} = 12$ を満たす点 $P$ の軌跡を求めよ。

ヒントを見る

『 $2$ 乗の差』という形に注目。書き下ろして展開すると、 $2$ 次の項がそっくり相殺される — 何が残るか。

解答・解説

方針

$P (x, y)$ とおいて差を計算する。2乗の『差』では $x^{2}$ 、 $y^{2}$ が消えて、直線の式になる(和のときは円だった)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $PA^{2} - PB^{2}$ は $2$ 乗の『差』だ。

$P (x, y)$ とおいて書き下すと、 $x^{2}$ と $y^{2}$ が打ち消し合う。残るのは $1$ 次式で、軌跡は直線になる。

和 $PA^{2} + PB^{2}$ なら円、差なら直線。この対比を見抜くのが核だ。

公式

PA^{2} - PB^{2}

が一定の点の軌跡は、

AB

に垂直な直線

$P (x, y)$ とおく。

$PA^{2} - PB^{2} = {(x + 3)^{2} + y^{2}} - {(x - 3)^{2} + y^{2}}$

$x^{2}$ 、 $y^{2}$ が消える。

$= (x + 3)^{2} - (x - 3)^{2} = 12 x$

これが $12$ に等しいので $12 x = 12$ 、 $x = 1$ 。軌跡は直線 $x = 1$ 。

軌跡は直線 x=1

発展 — 一歩先へ。 右辺の定数 $12$ を別の値 $k$ に変えると、軌跡は $x = \frac{k}{12}$ 。 $k$ を実数全体で動かすと、 $AB$ に垂直な直線が平面をすき間なく埋めつくす。

$k = 0$ のときは $PA = PB$ 、つまり線分 $AB$ の垂直二等分線になる。差が正なら $B$ 寄り、負なら $A$ 寄りの直線だ。

「 $PA^{2} - PB^{2} =$ 一定」は、 $2$ 点を中心とする円に対する『方べき(power)』の差が一定という条件でもある。 $2$ 円の方べきが等しい点の集合(根軸)がいつも直線になるのは、これと同じ理由だ。

$k = 0$ のときは $PA = PB$ 、つまり線分 $AB$ の垂直二等分線になる。差が正なら $B$ 寄り、負なら $A$ 寄りの直線だ。

答

直線 $x = 1$

別解

別解 — 差を内積の形に書いて「直線」と見抜く(得意な人向けの視点)。 座標を展開する前に、 $PA^{2} - PB^{2}$ の構造を見る。

ベクトルで書くと $PA^{2} - PB^{2} = ∣ A - P ∣^{2} - ∣ B - P ∣^{2}$ 。これは差の $2$ 乗として因数分解できて

$PA^{2} - PB^{2} = (A - B) \cdot (A + B - 2 P) .$

$A - B = (- 6, 0)$ は定ベクトル。だから右辺は $P = (x, y)$ の $1$ 次式で、 $y$ を含まない。 $PA^{2} - PB^{2}$ が定数という条件は、 $P$ の $1$ 次方程式=直線を表す。しかも $AB$ 方向のベクトル $A - B$ との内積だから、その直線は $AB$ に垂直だ。

実際に代入すると $(- 6, 0) \cdot (- 2 x, - 2 y) = 12 x$ 。これが $12$ で $x = 1$ 。座標を丸ごと展開する本解と同じ直線 $x = 1$ 。「差が $P$ の $1$ 次式になる」ことを構造から見れば、 $y$ の項が消えるのは計算する前から分かる。

ポイント

距離²の『差』が一定 → 直線(和なら円)。
差では2乗項が消え、1次式になる。

よくある間違い

差 $PA^{2} - PB^{2}$ が一定なのに、和のときと同じく円だと思い込む(差は直線)。
展開で $x^{2}$ と $y^{2}$ が消えることに気づかず、 $2$ 次の項を残して曲線にしてしまう。
$y$ に制限があると勘違いし、直線 $x = 1$ の一部だけに答えを限ってしまう(全実数の $y$ で成り立つ)。