2点から等距離の点の軌跡

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 軌跡の問題は、手順が決まっている。

手順1: 求める点を $\mathrm{P}(x,y)$ とおく。 手順2: 条件を、$x$ と $y$ の式で書く。 手順3: 整理する。それが軌跡の方程式。

条件は「$\mathrm{A}$ からの距離 $=$ $\mathrm{B}$ からの距離」。

$$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$$

根号を避けるため、$2$ 乗して考える。

$${\mathrm{PA}}^2={\mathrm{PB}}^2$$

$$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=(x-5{)}^2+(y-4{)}^2$$

$x^2$ と $y^2$ が両辺で打ち消し合う — だから展開すると $1$ 次式が残り、直線になる。

$$2x+y=9$$

距離の条件が、$2$ 乗のおかげで直線の式に化ける — これがこの問題の面白さだ。

$\mathrm{P}(x,y)$ とおく。$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$、2乗して

$$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=(x-5{)}^2+(y-4{)}^2$$

展開すると $x^2$、$y^2$ が両辺で消える。

$$-2x+1-4y+4=-10x+25-8y+16$$

整理して

$$8x+4y=36\Rightarrow 2x+y=9$$

これは線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線。

発展 — 一歩先へ。 「$2$ 点から等距離」を「$3$ 点から等距離」に変えると、どうなるか。

$3$ 点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$、$\mathrm{C}$ から等距離の点 — それは外心であり、$3$ 点を通る円の中心だ。

求め方は、垂直二等分線を $2$ 本引いて、その交点をとる。

• $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線
• $\mathrm{BC}$ の垂直二等分線

この $2$ 本の交点が、$3$ 点から等距離の点。($\mathrm{CA}$ の垂直二等分線も、自動的にそこを通る — これが「$3$ 本の垂直二等分線が $1$ 点で交わる」ことの証明になっている。)

$2$ つの軌跡を交わらせると、$1$ 点が決まる。 この発想が、GPS の原理そのものだ。

GPS はこう動く。

• 衛星 $1$ からの距離が分かる → 球面上のどこか(軌跡は球)
• 衛星 $2$ からの距離も分かる → $2$ つの球の交わり = 円
• 衛星 $3$ からの距離も分かる → $2$ 点まで絞れる(片方は地球外なので除外)

「距離の条件」を重ねるほど、位置が絞り込まれる。

軌跡の問題は「条件から図形を求める」 が、GPS は「図形の交わりから点を求める」 — 同じ数学の、逆向きの使い方だ。

スマホが現在地を知る仕組みが、垂直二等分線の延長線上にある。 数学は、いつのまにか生活の中で動いている。

別解

この軌跡の正体は「垂直二等分線」だ。 それを知っていれば、計算せずに答えが書ける。$2$ つのルートを比べてみよう。

幾何ルート: 垂直二等分線を直接作る。

「$2$ 点から等距離の点の集まり $=$ その $2$ 点を結ぶ線分の垂直二等分線」 — 中学で習った事実だ。

だから、線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線を求めればよい。

必要なのは $2$ つ。「通る点」と「傾き」。

通る点 $=$ 中点。

$$\mathrm{M}\left(\frac{1+5}{2},\frac{2+4}{2}\right)=\mathrm{M}(3,3)$$

傾き $=$ $\mathrm{AB}$ の傾きに垂直。

$$(\mathrm{AB}\text{の傾き})=\frac{4-2}{5-1}=\frac{1}{2}⟹(\text{垂直な傾き})=-2$$

点 $(3,3)$ を通り、傾き $-2$ の直線。

$$y-3=-2(x-3)⟹y=-2x+9⟹2x+y=9✓$$

代数ルートと同じ答え。 しかも展開の計算が $1$ 度もない。

どちらを使うべきか。

• 「$2$ 点から等距離」と分かっている → 幾何ルート(垂直二等分線)が速い
• 条件が複雑(距離の比が $1:2$ など)→ 代数ルート($\mathrm{P}(x,y)$ とおいて計算)

幾何ルートは速いが、使える場面が限られる。代数ルートは遅いが、どんな条件にも通用する。 両方持っておくのが強い。

答えの検算。 求めた直線上の点を $2$ つ選び、本当に $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ から等距離か確かめる。

点 $(3,3)$(中点)で:

$$\mathrm{PA}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5},\mathrm{PB}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}✓$$

点 $(4,1)$($2\cdot 4+1=9$ ✓ 直線上)で:

$$\mathrm{PA}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10},\mathrm{PB}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}✓$$

両方とも等距離。 軌跡の問題では、求めた図形の上の点が本当に条件を満たすか(これを「逆の確認」という)を確かめる習慣をつけたい。

なぜ「逆の確認」が要るのか。 軌跡を求める計算は「条件 $\Rightarrow$ 方程式」の向きに進む。しかし答えとして書くべきは「方程式を満たす点は、すべて条件を満たす」という逆向きの主張だ。

多くの場合、式変形が同値なので自動的に成り立つが、$2$ 乗したり、割り算したりすると、余計な点が紛れ込むことがある。

$$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}⟺{\mathrm{PA}}^2={\mathrm{PB}}^2$$

この $2$ 乗は同値だ(距離は $0$ 以上なので、$2$ 乗しても情報が失われない)。だから今回は安心してよい。しかし、常にそうとは限らない — 次の問題(アポロニウスの円)で、その注意点が生きてくる。