円上を動く点に連動する中点の軌跡

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 動く点 $\mathrm{Q}$ に連動する $\mathrm{P}$ の軌跡。定番の手は「$\mathrm{P}$ を主役にし、$\mathrm{Q}$ を $\mathrm{P}$ で表して、$\mathrm{Q}$ の従う式に代入」。

$\mathrm{P}(x,y)$、$\mathrm{Q}(s,t)$ とおく。$\mathrm{P}$ は $\mathrm{AQ}$ の中点だから $x=\frac{s+6}{2}$、$y=\frac{t}{2}$。逆に解いて $s=2x-6$、$t=2y$。

$\mathrm{Q}$ は円 $x^2+y^2=9$ 上、つまり $s^2+t^2=9$。$s,t$ を代入すると $(2x-6{)}^2+(2y{)}^2=9$、整理して $(x-3{)}^2+y^2=\frac{9}{4}$。

① $\mathrm{Q}$ を $\mathrm{P}$ で表す。 $\mathrm{P}(x,y)$ は $\mathrm{A}(6,0)$ と $\mathrm{Q}(s,t)$ の中点だから

$$x=\frac{6+s}{2},y=\frac{0+t}{2}⟹s=2x-6,t=2y$$

② 円の条件に代入する。 $\mathrm{Q}(s,t)$ は $s^2+t^2=9$ 上だから

$$(2x-6{)}^2+(2y{)}^2=9$$

③ 整理する。 $4(x-3{)}^2+4y^2=9$、両辺を $4$ で割って

$$(x-3{)}^2+y^2=\frac{9}{4}$$

まとめ:連動の軌跡は「$\mathrm{Q}$ を $\mathrm{P}$ で表して代入」。中点なら $\mathrm{Q}=2\mathrm{P}-\mathrm{A}$。もとの円(中心 $\mathrm{O}$、半径 $3$)が、$\mathrm{A}$ を中心に $\frac{1}{2}$ 倍に縮んだ円(中心が $\mathrm{OA}$ の中点 $(3,0)$、半径 $\frac{3}{2}$)になる。

発展 — 一歩先へ。 中点を「$1:2$ の内分点」に変えれば $\frac{1}{3}$ 倍の縮小になるだけで、やはり円が出る。「動点の図形を、定点中心に一定比率で縮めた軌跡」は元と相似。軌跡の問題は、平行移動・相似・回転の変換に翻訳できないかをまず疑うと、計算の前に答えの形が見える。

別解

別解 — 「半分に縮めるコピー機」と見る(得意な人向けの視点)。 中点の式 $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{A}+\mathrm{Q}}{2}$ は、「$\mathrm{Q}$ を、$\mathrm{A}$ を中心に $\frac{1}{2}$ 倍に縮めた点」と読める。

$\mathrm{Q}$ が円全体($中心(0,0)$・半径 $3$)を動くなら、$\mathrm{P}$ はその円を「$\mathrm{A}(6,0)$ 中心に $\frac{1}{2}$ 倍」した円を動く。円を縮小すれば円だ。

新しい中心は、元の中心 $(0,0)$ と $\mathrm{A}(6,0)$ の中点 $(3,0)$。新しい半径は $3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。円 $(x-3{)}^2+y^2=\frac{9}{4}$。

$s,t$ を代入する本解と同じだが、「$\mathrm{A}$ を中心に $\frac{1}{2}$ 倍の相似縮小」と見ると、中心 $(3,0)$・半径 $\frac{3}{2}$ が一瞬で出る。軌跡の問題は、平行移動・相似・回転のどれで写した図形かをまず疑うとよい。