連動する点の軌跡

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「点 $\mathrm{Q}$ が動くと、それにつれて点 $\mathrm{M}$ も動く」— 連動する点の軌跡だ。

手順は決まっている。

手順1: 求めたい点を $\mathrm{M}(x,y)$ とおく。

手順2: 動く点 $\mathrm{Q}$ の座標を、$x$、$y$ で表す。

$\mathrm{M}$ は $\mathrm{A}(6,0)$ と $\mathrm{Q}$ の中点だから

$$x=\frac{(\mathrm{Q}\text{の}x)+6}{2},y=\frac{(\mathrm{Q}\text{の}y)+0}{2}$$

これを $\mathrm{Q}$ について解く。

$$\mathrm{Q}(2x-6,2y)$$

手順3: 「$\mathrm{Q}$ が円上にある」という条件に、代入する。

$$(2x-6{)}^2+(2y{)}^2=4$$

整理すると

$$(x-3{)}^2+y^2=1$$

急所は手順2。「$\mathrm{Q}$ を $x$、$y$ で表す」 — 逆に解くのがコツだ。$\mathrm{Q}$ の条件は分かっているのだから、そこへ持ち込む。

$\mathrm{M}(x,y)$、$\mathrm{Q}(s,t)$ とおく。$\mathrm{M}$ は $\mathrm{A}(6,0)$ と $\mathrm{Q}$ の中点なので

$$x=\frac{s+6}{2},y=\frac{t+0}{2}$$

これを $s$、$t$ について解く。

$$s=2x-6,t=2y$$

$\mathrm{Q}$ は円 $s^2+t^2=4$ 上にあるので代入する。

$$(2x-6{)}^2+(2y{)}^2=4\Rightarrow 4(x-3{)}^2+4y^2=4$$

両辺を $4$ で割って

$$(x-3{)}^2+y^2=1$$

発展 — 一歩先へ。 「連動する点の軌跡」を求める手順は、実は変数変換という一般的な考え方の実例である。

やったことを、整理し直そう。

• 元の世界: $\mathrm{Q}(s,t)$ が円 $s^2+t^2=4$ 上を動く
• 移す規則: $x=\frac{s+6}{2}$、$y=\frac{t}{2}$
• 新しい世界: $\mathrm{M}(x,y)$ はどんな図形を描くか

「規則を逆に解いて、元の条件に代入する」 — これが変数変換の型だ。

$$s=2x-6,t=2y⟹(2x-6{)}^2+(2y{)}^2=4$$

この手続きは、数IIIの「置換積分」とまったく同じ発想である。

$$\int f(x)dx\text{で}x=g(u)\text{と置いて、}dx=g^{\prime }(u)du\text{に書きかえる}$$

「変数を取り替えて、扱いやすい世界へ移す」 — 数学のあらゆる場面で使われる、最強の戦略のひとつだ。

そして、コンピュータグラフィックスの世界では、これが日常の道具である。

$3$D ゲームで、キャラクターを動かす・回転させる・拡大する — すべて「座標の変換」だ。行列を使って、$1$ つの式で表す。

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}e\\ f\end{array}\right)$$

回転・拡大・平行移動が、この $1$ 本の式に収まる。 画面上のすべての点が、毎秒 $60$ 回、この変換を受けている。

「$\mathrm{Q}$ が動くと $\mathrm{M}$ も動く」という素朴な問題。 その構造は、$3$D グラフィックスの心臓部と同じである。

別解

この軌跡は、計算せずに"見える"。 幾何的な見方を身につけると、答えを予測してから計算に入れる。

幾何ルート: 「$\mathrm{A}$ を中心に、$\frac{1}{2}$ 倍に縮める」

$\mathrm{M}$ は線分 $\mathrm{AQ}$ の中点 — つまり、$\mathrm{A}$ から見て $\mathrm{Q}$ のちょうど半分の位置にある。

$$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$$

これは、$\mathrm{A}$ を中心とする比 $\frac{1}{2}$ の相似変換(縮小)である。

$\mathrm{Q}$ が円を描くなら、$\mathrm{M}$ も円を描く。 相似変換は、円を円に移すからだ。

あとは、中心と半径がどう変わるかを見るだけ。

中心: 元の円の中心 $\mathrm{O}(0,0)$ が、$\mathrm{A}(6,0)$ を中心に $\frac{1}{2}$ 倍される。

$$\text{新しい中心}=\frac{\mathrm{O}+\mathrm{A}}{2}=\left(\frac{0+6}{2},0\right)=(3,0)$$

($\mathrm{O}$ と $\mathrm{A}$ の中点 — これが新しい円の中心だ。)

半径: $\frac{1}{2}$ 倍される。

$$2\times \frac{1}{2}=1$$

答え: 中心 $(3,0)$、半径 $1$ の円。

$$(x-3{)}^2+y^2=1✓$$

計算ルートと同じ答えが、$3$ 行で出た。

相似変換の視点を持つと、この手の問題が一気に見通せる。

• 「$\mathrm{A}$ と $\mathrm{Q}$ の中点」 → $\mathrm{A}$ 中心の $\frac{1}{2}$ 倍縮小
• 「線分 $\mathrm{AQ}$ を $1:2$ に内分する点」 → $\mathrm{A}$ 中心の $\frac{1}{3}$ 倍縮小
• 「$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=3\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$」 → $\mathrm{A}$ 中心の $3$ 倍拡大

どの場合も、「元の図形と相似な図形」が軌跡になる。 円なら円、直線なら直線、放物線なら放物線 — 形は変わらず、大きさと位置だけが変わる。

答えを予測してから、計算で確かめる。 これが理想的な解き方だ。「答えはたぶん半径 $1$ の円だな」と分かっていれば、計算ミスに気づける。

そして「逆の確認」も、この見方で納得できる。

求めた円 $(x-3{)}^2+y^2=1$ 上の点は、すべて中点として実現するか?

する。 $\mathrm{M}$ を円上のどこにとっても、$\mathrm{Q}=2\mathrm{M}-\mathrm{A}$ で対応する $\mathrm{Q}$ が定まり、それは必ず元の円 $x^2+y^2=4$ 上にある(相似変換は $1$ 対 $1$ の対応だから)。

「もれなく、ダブりなく」対応している。 だから求めた円全体が軌跡である(一部を除く必要はない)。

軌跡の問題では、「除外点」があることも多い。 たとえば「$\mathrm{Q}$ が円周上を動く。ただし $\mathrm{Q}\ne (2,0)$」という条件があれば、対応する $\mathrm{M}(4,0)$ を軌跡から除く必要がある。問題文の細かい条件を、最後まで追いかける。