円の内部・外部

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x^2+y^2\leqq 4$ — 境界は円 $x^2+y^2=4$(中心 $(0,0)$、半径 $2$)。

この不等式を、日本語に翻訳する。

$$x^2+y^2\leqq 4⟺\sqrt{x^2+y^2}\leqq 2⟺(\text{原点からの距離})\leqq 2$$

「原点からの距離が $2$ 以下の点の集まり」 — つまり円の内部および周である。

不等号の向きと、内外の対応。

• $x^2+y^2<r^2$ → 内部(距離が半径より小さい)
• $x^2+y^2>r^2$ → 外部(距離が半径より大きい)

「$\leqq$ だから内側」と丸暗記せず、「距離が短い $=$ 中心に近い $=$ 内側」と読む。 そうすれば絶対に間違えない。

等号を含むので、境界(円周)も領域に入る。実線で描く。

境界は円 $x^2+y^2=4$、半径 $2$。$\le 4$ なので内部が領域。

等号がついている($\le$)ので、境界の円も含む(図では実線)。

発展 — 一歩先へ。 「原点からの距離が $2$ 以下」という条件は、次元を上げても同じ形をしている。

• $1$ 次元: $|x|\leqq 2$ → 線分($-2\leqq x\leqq 2$)
• $2$ 次元: $x^2+y^2\leqq 4$ → 円板
• $3$ 次元: $x^2+y^2+z^2\leqq 4$ → 球体
• $n$ 次元: $x_1^2+\cdots +x_n^2\leqq 4$ → $n$ 次元の球

式の形は変わらず、項が増えるだけ。

そして、驚くべき事実がある。次元を上げると、球の"体積"はどうなるか。

半径 $1$ の球の体積は

• $2$ 次元(円): $\pi \approx 3.14$
• $3$ 次元(球): $\frac{4}{3}\pi \approx 4.19$
• $4$ 次元: $\frac{{\pi }^2}{2}\approx 4.93$
• $5$ 次元: $\approx 5.26$($\text{ここが最大}$)
• $6$ 次元: $\approx 5.17$
• $10$ 次元: $\approx 2.55$
• $20$ 次元: $\approx 0.026$
• $100$ 次元: ほぼ $0$

次元を上げると、球の体積は増え続けるどころか、$5$ 次元をピークに減っていき、やがて $0$ に近づく。

直感に完全に反する。 高次元では、球はほとんど「体積を持たない」のだ(体積のほとんどが、球の表面近くの薄い殻に集中してしまう)。

この現象を「次元の呪い」といい、機械学習で深刻な問題を引き起こす。 高次元のデータ空間では、点どうしの距離がほとんど同じになってしまい、「近い」「遠い」の区別がつかなくなるのだ。

$x^2+y^2\leqq 4$ に色を塗るという素朴な作業。 その式をそのまま高次元へ持っていくと、人間の直感が通用しない世界が現れる — 数学は、想像を超えたところまで、平気で連れて行く。

別解

代入判定法で確かめる。 そして、中心がずれた円でも迷わない方法を身につけよう。

代入判定。原点 $(0,0)$ を入れてみる。

$$0^2+0^2=0\leqq 4✓\text{成り立つ}$$

原点は領域に含まれる。 原点は円の内部にあるから、領域は内部側 ✓。

外の点でも確かめる。点 $(3,0)$。

$$9+0=9\leqq 4?\text{偽}$$

含まれない。 円の外にある点は、確かに領域外だ ✓。

この方法なら、中心がずれていても大丈夫。

例: $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2\geqq 4$ の領域は?

円の内部か外部か、$1$ 秒で判定する。 中心 $(3,-1)$ を代入してみると

$$0+0=0\geqq 4?\text{偽}$$

中心が含まれない → 領域は外部。

「中心を代入する」のが、円の内外判定の最速手だ。 中心は必ず「内部の代表点」だから、中心が含まれれば内部、含まれなければ外部 — 確実である。

そして、$3$ つの領域の対応を整理しておく。

「内部か外部か」は不等号の向き、「境界を含むか」は等号の有無。 $2$ つは独立した情報である。

答案での描き方も、大事な作法だ。

• 領域: 斜線 or 薄い塗りつぶし
• 境界を含む: 実線
• 境界を含まない: 破線
• 注記: 「境界を含む」「境界を含まない」と、必ず言葉でも書く

図だけでは、実線と破線の区別が採点者に伝わらないことがある。 言葉を $1$ 行添えるだけで、確実に伝わる。数学の答案は、コミュニケーションでもある。