数学II / 軌跡と領域

アポロニウスの円(比が2:3)

★★ 標準軌跡アポロニウスの円

問題

2点 $A (0, 0)$ 、 $B (5, 0)$ について、 $PA : PB = 2 : 3$ を満たす点 $P$ の軌跡を求めよ。

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比のままでは扱えない。両辺を整数倍して $2$ 乗の等式に直してから座標を入れる。この型(距離の比が一定)の軌跡が何になるかは、整理し切れば自然に分かる。

解答・解説

比 $2 : 3$ を $3 PA = 2 PB$ に直し、2乗して $9 PA^{2} = 4 PB^{2}$ 。 $x$ 、 $y$ で整理すると円になる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 比の条件は、まず等式に直す。 $PA : PB = 2 : 3$ は $3 PA = 2 PB$ のこと。

距離の等式は、2乗して根号を消す。 $9 PA^{2} = 4 PB^{2}$ 。

あとは $P (x, y)$ で書いて整理するだけだ。距離の「比が一定」の軌跡は円になる(アポロニウスの円)。等距離( $1 : 1$ )のときだけ、円がつぶれて垂直二等分線になる。

定理アポロニウスの円:2定点からの距離の比が一定(

1 : 1

以外)の点は円をえがく

$P (x, y)$ とおく。 $PA : PB = 2 : 3$ より $3 PA = 2 PB$ 、2乗して

$9 PA^{2} = 4 PB^{2} \Rightarrow 9 (x^{2} + y^{2}) = 4 {(x - 5)^{2} + y^{2}}$

展開して整理する。

$9 x^{2} + 9 y^{2} = 4 x^{2} - 40 x + 100 + 4 y^{2} \Rightarrow 5 x^{2} + 5 y^{2} + 40 x - 100 = 0$

両辺 $5$ で割り、平方完成する。

$x^{2} + y^{2} + 8 x - 20 = 0 \Rightarrow (x + 4)^{2} + y^{2} = 36$

中心 $(- 4, 0)$ 、半径 $6$ の円。

PA:PB=2:3 の軌跡は円

発展 — 一歩先へ。 比を $2 : 3$ から動かすと、アポロニウスの円は膨らんだり縮んだりし、 $1 : 1$ の極限で「無限に大きい円」= 垂直二等分線に退化する。直線は円の仲間だった、という視点がここで手に入る。

この円は複素数平面(数C)では $\frac{z - α}{z - β} = (一定)$ という美しい式になる。距離の比という同じ内容が、座標・図形・複素数の3つの言語で書ける。

答

円 $(x + 4)^{2} + y^{2} = 36$

円の正体(中心と半径)は、展開の前に「2つの特別な点」から予言できる。

線分 $AB$ 上で $PA : PB = 2 : 3$ になる点は、 $2 : 3$ の内分点 $(2, 0)$ 。延長上にもう1つ、 $2 : 3$ の外分点 $(- 10, 0)$ がある。

この2点はどちらも軌跡の上にあり、しかも直線 $AB$ と円の交点だから、アポロニウスの円の直径の両端になる。

中心は2点の中点 $(- 4, 0)$ 、半径は距離の半分 $6$ 。

$(x + 4)^{2} + y^{2} = 36$

展開ルートの答えと一致する。「内分点と外分点が直径の両端」という構図を知っていれば、検算はこの2点の位置確認だけで済む。図形の性質(数A)の角の二等分線の内分・外分と、同じ骨格が流れている。