数学II / 軌跡と領域

円の領域と1次式の最大

★★ 標準領域最大最小

問題

点 $(x, y)$ が円 $x^{2} + y^{2} \leq 25$ の表す領域を動くとき、 $3 x + 4 y$ の最大値と最小値を求めよ。

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$3 x + 4 y$ の値が同じ点の集まりは直線。この直線を動かすイメージで、値が端をとるのは直線が円とどんな関係になる瞬間かを考え、その条件を式にする。

解答・解説

$3 x + 4 y = k$ は傾き一定の直線。 $k$ を動かすと直線が平行に動き、円に接するとき $k$ が最大・最小。接する条件(中心と直線の距離=半径)で $k$ を出す。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3 x + 4 y = k$ とおく。 $k$ を動かすと、傾き $- \frac{3}{4}$ の直線が平行に滑っていく。

円板と共有点を保てるぎりぎり、つまり円に接する瞬間の $k$ が最大・最小だ。

接する条件は「中心から直線までの距離=半径」。 $\frac{∣ k ∣}{5} = 5$ から $k = \pm 25$ 。直線を滑らせる映像と、距離の等式。この2点セットが円の線形計画の型である。

公式円

x^{2} + y^{2} \leq r^{2}

上での

a x + b y

の最大は

r a^{2} + b^{2}

、最小は

- r a^{2} + b^{2}

① $3 x + 4 y = k$ を動く直線とみる。 $k$ の値がこの直線の位置を表す。 $k$ を大きく・小さくすると直線が平行に動き、円からはみ出す直前で $k$ が端の値になる。

② 端は「直線が円に接するとき」。 接する条件は「中心と直線の距離 = 半径」。中心 $O (0, 0)$ から直線 $3 x + 4 y - k = 0$ までの距離が半径 $5$ に等しい。

$\frac{∣ k ∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = 5 \Rightarrow \frac{∣ k ∣}{5} = 5 \Rightarrow ∣ k ∣ = 25$

③ 絶対値をはずす。 $k = \pm 25$ 。よって最大値 $25$ 、最小値 $- 25$ 。

3x+4y=k が円に接するとき k=±25

まとめ: $a x + b y$ の最大最小は「その直線を平行移動して円に接するとき」。接する条件(中心と直線の距離 = 半径)で $k$ が決まる。

発展 — 一歩先へ。 数学Cのベクトルを学ぶと、 $3 x + 4 y$ は「ベクトル $(3, 4)$ との内積」で、最大になるのは2つのベクトルが同じ向きのとき、と1行で説明がつく。図形・不等式・内積の3つの言葉が、この1問に同居している。

目的の式が $x + y^{2}$ のような非1次式になると、直線の代わりに曲線を滑らせることになる。「 $= k$ とおいて図形族を滑らせる」という発想自体は、そのまま生き続ける。

答

最大値 $25$ 、最小値 $- 25$

式と証明で学んだコーシー・シュワルツの不等式なら、図を描かずに一撃で挟める。

$(3 x + 4 y)^{2} \leq (3^{2} + 4^{2}) (x^{2} + y^{2}) \leq 25 \times 25$

よって $∣3 x + 4 y ∣ \leq 25$ 、つまり $- 25 \leq 3 x + 4 y \leq 25$ 。

等号成立は $(x, y)$ が $(3, 4)$ と平行、かつ円周上のとき。 $x^{2} + y^{2} = 25$ と合わせて $(x, y) = (3, 4)$ で最大 $25$ 、 $(- 3, - 4)$ で最小 $- 25$ 。

不等式の威力は「上限と、それが達成される点」を同時にくれることだ。図形の接する条件と、代数の不等式の等号条件が、同じ点 $(3, 4)$ を指す。2つの単元が1つの答えの前で握手する、気持ちのよい瞬間である。