反転(直線上の点に連動する点の軌跡)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\mathrm{P}$ は $\mathrm{Q}$ に連動して動く。こういうときは、動きの元 $\mathrm{Q}$ を1文字で書き、$\mathrm{P}$ をその文字で表して、最後に文字を消すのが軌跡の型だ。

$\mathrm{Q}=(1,t)$ とおく。$\mathrm{P}$ は半直線 $\mathrm{OQ}$ 上で $\mathrm{OP}=\frac{1}{\mathrm{OQ}}$ の点だから、$\mathrm{Q}$ 方向の単位ベクトルに $\mathrm{OP}$ を掛ければ座標が出る。

整理すると $\mathrm{P}=\left(\frac{1}{1+t^2},\frac{t}{1+t^2}\right)$。あとは $t$ を消すだけ。$x^2+y^2$ を作ると分母がそろって消える。

① 媒介変数でおく。 $\mathrm{Q}=(1,t)$、$\mathrm{OQ}=\sqrt{1+t^2}$。$\mathrm{OP}=\frac{1}{\mathrm{OQ}}$ で $\mathrm{P}$ は $\mathrm{Q}$ と同じ向きだから $$\mathrm{P}=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OQ}}\mathrm{Q}=\frac{1}{{\mathrm{OQ}}^2}\mathrm{Q}=\left(\frac{1}{1+t^2},\frac{t}{1+t^2}\right).$$ ② $t$ を消去。 $x=\frac{1}{1+t^2},y=\frac{t}{1+t^2}$ より $$x^2+y^2=\frac{1+t^2}{(1+t^2{)}^2}=\frac{1}{1+t^2}=x.$$ ③ 軌跡。 $x^2+y^2=x$、すなわち $${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2=\frac{1}{4}(\text{中心}\left(\frac{1}{2},0\right),\text{半径}\frac{1}{2},\text{原点を除く}).$$ $x=\frac{1}{1+t^2}>0$ なので原点 $(0,0)$ は含まない。

まとめ 反転 $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{Q}}{{\mathrm{OQ}}^2}$ を成分で書き $t$ を消すと $x^2+y^2=x$。直線が原点を通る円に写る。軌跡(反転)と媒介変数消去の融合。

発展 — 一歩先へ。 反転は「原点を通らない直線 $\leftrightarrow$ 原点を通る円」「原点を通らない円 $\leftrightarrow$ 原点を通らない円」を入れ替える変換で、複素数平面では $w=\frac{1}{\overline{z}}$ と書ける。円と直線をまとめて「円」の仲間とみなす見方は、数Cの複素数平面や一次分数変換で主役になる。

別解

別解 — 「反転」の写像として先読みする(得意な人向けの高い視点)。 $\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}=1$ の対応は反転とよばれ、「原点を通らない直線を、原点を通る円に写す」性質をもつ。

答えの円は2点で決まる。直線 $x=1$ 上で原点に最も近い点 $(1,0)$ は、$\mathrm{OQ}=1$ だから動かず $(1,0)$ のまま。一方、直線上を遠くへ行くほど $\mathrm{OP}=\frac{1}{\mathrm{OQ}}$ は $0$ に近づく — 像は原点に限りなく迫る(が届かない)。

原点方向の対称性から、像の円は $\mathrm{O}$ と $(1,0)$ を直径の両端とする円。中心 $\left(\frac{1}{2},0\right)$、半径 $\frac{1}{2}$、すなわち ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+y^2=\frac{1}{4}$(原点は除く)。

成分計算(本解)が答えを保証し、反転の性質が「なぜ円か・どの円か・どこが欠けるか」を先に教えてくれる。