線分の族の通過領域

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 通過領域の定石は逆手流だ。点 $(x,y)$ を固定し、「この点を通る $t$ が存在するか」を $t$ の方程式

$$g(t)=t^2-2xt+y=0$$

の解の存在に翻訳する。

$t$ が全実数なら判別式だけで済む。だが本問は $0\le t\le 1$。区間に解をもつ条件が要る。区間解の存在は「端点で符号が変わる(またぎ型)」か「区間内に軸と頂点があり両端が0以上(内部型)」の2パターンで尽くせる。

① 条件を書き下ろす((1))。 $g(0)=y$、$g(1)=1-2x+y$、判別式 $D/4=x^2-y$、軸は $t=x$。よって $(x,y)\in D$ ⟺

• またぎ型: $y(y-2x+1)\le 0$、または
• 内部型: $y\le x^2$ かつ $0\le x\le 1$ かつ $y\ge 0$ かつ $y\ge 2x-1$

② 領域の形を読む。 境界は $y=0$(直線 $t=0$ の像)、$y=2x-1$($t=1$ の像)、$y=x^2$(判別式 $=0$、すなわち族の包絡線)。とくに $y=2x-1$ は $y=x^2$ に点 $(1,1)$ で接する($x^2-2x+1=(x-1{)}^2$)。あわせると、$D$ は下の縁が $y=\min (0,2x-1)$、上の縁が「$x\le 0$ では $y=0$ / $0\le x\le 1$ では $y=x^2$ / $x\ge 1$ では $y=2x-1$」の帯状の領域になる。

③ $x=2$ での切り口((2))。 $x=2$ を条件に入れる。内部型は $0\le x\le 1$ を満たさず空。またぎ型は $y(y-3)\le 0$ ⟺ $0\le y\le 3$。よって共通部分は

$$\text{線分}x=2,0\le y\le 3$$

(端 $y=0$ は $t=0$、$y=3$ は $t=1$ の直線が通る点。)

まとめ: 直線の族(全実数 $t$)なら判別式1本で済む通過領域が、線分の族($t$ に範囲)になると区間の解の配置に格上げされる。境界3本($t=0$ の像・$t=1$ の像・包絡線 $y=x^2$)の役割と接点 $(1,1)$ まで読めれば、図は一気に描ける。

発展 — 一歩先へ。 実は $y=2tx-t^2$ は、放物線 $y=x^2$ の点 $(t,t^2)$ における接線そのものだ($x^2-(2tx-t^2)=(x-t{)}^2$)。この問題の族は「接点が $0\le t\le 1$ の接線たち」で、上の縁に $y=x^2$ が現れたのは、接線の族が自分の放物線を縁取る(包絡線)からである。

別解

$x$ を固定して $y$ の値域を測る(順手ルート)。 逆手(解の存在)の代わりに、正面から「掃く範囲」を測ることもできる。

$x$ を1つ固定する。$t$ が $0\le t\le 1$ を動くとき、$y$ の動く範囲は1変数関数

$$h(t)=2tx-t^2=-(t-x{)}^2+x^2$$

の値域そのものだ。これは上に凸な放物線(頂点 $t=x$)の、区間 $[0,1]$ での最大・最小の問題にすぎない。

• 最大: 頂点が区間内($0\le x\le 1$)なら $x^2$。外なら近い端点で、$x<0$ なら $h(0)=0$、$x>1$ なら $h(1)=2x-1$
• 最小: 上に凸だから遠い方の端点で、$\min (h(0),h(1))=\min (0,2x-1)$

つまり各 $x$ での切り口は区間 $[\min (0,2x-1),(\text{上の最大値})]$。これを $x$ 方向に並べたものが領域 $D$ で、本解①②とぴったり一致する($x=2$ なら $[0,3]$ — (2)も即答)。

逆手は「存在条件」、順手は「値域」。同じ領域の2つの測り方で、2次関数の区間最大最小がそのまま領域の縁になるのが順手の景色だ。