数学II / 軌跡と領域

直線の通過領域

★★★ 応用領域通過範囲

問題

$t$ が実数全体を動くとき、直線 $y = 2 t x - t^{2}$ が通過する領域を求め、図示せよ。

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発想を逆転する。点 $(X, Y)$ を固定して『この点を通るような $t$ が存在するか?』と問い直す。存在条件を $t$ の方程式の言葉にすれば、領域の式が現れる。

解答・解説

点 $(X, Y)$ がこの直線群のどれかにのっている ⟺ $Y = 2 tX - t^{2}$ を満たす実数 $t$ が存在する。これを $t$ の2次方程式とみて、実数解をもつ条件( $D \geq 0$ )を求める。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 発想を逆転する。点 $(X, Y)$ を固定して「この点を通る直線が族の中にあるか」と問い直す。

点 $(X, Y)$ を通る $⟺$ $Y = 2 tX - t^{2}$ を満たす実数 $t$ が存在する。

これを $t$ の $2$ 次方程式とみて、実数解をもつ条件(判別式 $≧ 0$ )を考える。通過領域=パラメータの解の存在条件、という見方が核だ。

重要通過領域:点

(X, Y)

を通るパラメータ

t

が存在する条件(判別式など)を求める

点 $(X, Y)$ がこの直線群のどれかを通る ⟺ $Y = 2 tX - t^{2}$ を満たす実数 $t$ が存在する。 $t$ について整理する。

$t^{2} - 2 X t + Y = 0$

これが実数解 $t$ をもつ条件は、判別式 $D \geq 0$ 。

$D = (2 X)^{2} - 4 Y = 4 X^{2} - 4 Y \geq 0 \Rightarrow Y \leq X^{2}$

よって通過領域は、放物線 $y = x^{2}$ の上ではなく下側(および放物線上)、 $y \leq x^{2}$ 。

放物線 y=x² の下側(境界含む)が通過領域

発展 — 一歩先へ。 通過領域を「点を固定して、パラメータの方程式が実数解をもつ条件」で捉えると、境界の意味が見えてくる。 $t$ の方程式 $t^{2} - 2 x t + y = 0$ の実数解の個数は、判別式の符号で決まる。

内部の点( $y < x^{2}$ )は $2$ 個の $t$ で通る。つまり、その点を通る直線が族の中に $2$ 本ある。境界 $y = x^{2}$ の点は重解でちょうど $1$ 本、外側( $y > x^{2}$ )は $1$ 本も通らない。

「点を固定して、それを実現するパラメータが在るか」と問い直す発想は、通過領域だけでなく、値域を求める問題や不等式の成立条件など幅広い場面で効く。族が直線でなく曲線でも、パラメータの実数解の存在条件に読み替えるのは同じだ。

答

放物線 $y = x^{2}$ の下側および放物線上( $y \leq x^{2}$ )

別解 — 縦の $1$ 本の直線上で、届く高さを調べる(苦手な人向けのルート)。 判別式を使わず、 $x$ を $1$ つ固定して考える。

$x = X$ の縦線の上で、直線 $y = 2 tX - t^{2}$ が届く高さ $y$ を見る。 $t$ を主役とみて平方完成すると

$y = 2 X t - t^{2} = - (t - X)^{2} + X^{2} .$

$t$ を動かすと、 $t = X$ で最大 $X^{2}$ 、そこから下は $- \infty$ までいくらでも取れる。

つまり縦線 $x = X$ の上で、直線群は $y \leq X^{2}$ のすべての高さを覆い、 $y > X^{2}$ には決して届かない。 $X$ を動かせば通過領域は $y \leq x^{2}$ 。判別式で解く本解と同じ結論に、「各縦線でどこまで届くか」を見るだけで着く。