直交する2本の弦と定点

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 放物線上の点は $\mathrm{P}(p,p^2),\mathrm{Q}(q,q^2)$ と1文字ずつで書ける。すると直線 $\mathrm{PQ}$ の式は、和 $p+q$ と積 $pq$ だけで書ける(下の公式)。

一方、垂直条件を内積で書くと $pq$ だけの式に潰れる。つまり束縛は「積の固定」で、「和」は自由に残る。

自由に残った $p+q$ が係数から消える場所($x=0$)こそ、直線が必ず通る定点だ。

① 垂直条件を翻訳する。 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=pq+p^2{q}^2=pq(1+pq)=0$。$\mathrm{P},\mathrm{Q}$ は原点と異なるから $p,q\ne 0$、よって $pq\ne 0$ で

$$pq=-1$$

② 直線の式を作る。 傾きは $\frac{p^2-q^2}{p-q}=p+q$。$\mathrm{P}$ を通ることから

$$y=(p+q)(x-p)+p^2=(p+q)x-pq$$

③ 定点を読み取る。 $pq=-1$ を代入して

$$y=(p+q)x+1$$

$p+q$ は(垂直を保ったまま)いろいろな値をとる。だが $x=0$ のとき $y=1$。$p+q$ の値によらず、直線は点 $(0,1)$ を通る。

まとめ: 「直線の式を対称式で書く → 束縛が積を固定 → 残った和の係数が消える場所が定点」。弦の式 $y=(p+q)x-pq$ は放物線の問題の万能工具で、直交条件が $y$ 切片を直接固定する、という仕掛けがこの問題の全てだ。

発展 — 一歩先へ。 一般の放物線 $y=a{x}^2$ で同じことをすると、定点は $(0,\frac{1}{a})$ になる。円では「直角を張る弦=直径(中心を通る)」だったが、放物線では中心の代わりにこの定点が現れる。曲線ごとに「直角の記憶」を保持する点が違う、と眺めると面白い。

別解

特殊な配置で当たりを付けてから示す(実戦の作法)。 定点問題は、答えの点を先に見つけてしまうと安心して進める。

対称な配置を試す。$\mathrm{P}(1,1),\mathrm{Q}(-1,1)$ は $pq=-1$ で垂直条件を満たし、直線 $\mathrm{PQ}$ は水平線 $y=1$。

もう1つ。$p=2,q=-\frac{1}{2}$ なら直線は $y=\frac{3}{2}x+1$。

2本の直線 $y=1$ と $y=\frac{3}{2}x+1$ の交点は $(0,1)$ — 定点があるならここしかない。

あとは一般の場合に $(0,1)$ を通ることを示せばよい(本解②③)。「候補を2つの特殊配置の交点で確定 → 一般証明」という2段構えは、定点・定値問題の実戦的な型だ。当たりが付いていれば、一般計算のゴール($x=0$ で $y=1$)も迷わない。