2つの放物線で囲む領域の面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「2つの不等式の共通部分」の面積は、まず境界の交点で範囲を確定する。$x^2=2-x^2$ から $x=\pm 1$。

区間 $[-1,1]$ では、上が $y=2-x^2$、下が $y=x^2$(たとえば $x=0$ で $2>0$)。

面積は「上 $-$ 下」の定積分。被積分関数 $2-2x^2$ は偶関数だから、$0$ から $1$ を2倍してもよい。

① 交点。 $x^2=2-x^2\Rightarrow 2x^2=2\Rightarrow x=\pm 1$(このとき $y=1$)。

② 面積。 $-1\le x\le 1$ で上が $2-x^2$、下が $x^2$ だから $$S={\int }_{-1}^1\{(2-x^2)-x^2\}dx={\int }_{-1}^1(2-2x^2)dx.$$ ③ 計算。 偶関数なので $$S=2{\int }_0^1(2-2x^2)dx=2{\left[2x-\frac{2x^3}{3}\right]}_0^1=2\left(2-\frac{2}{3}\right)=2\cdot \frac{4}{3}=\frac{8}{3}.$$

まとめ 交点 $x=\pm 1$、上 $2-x^2$ − 下 $x^2$ を積分して面積 $\frac{8}{3}$。領域(不等式)と面積(定積分)の融合。上下の判定と交点が急所。

発展 — 一歩先へ。 この領域は点 $(0,1)$ について点対称である($(x,y)\to (-x,2-y)$ で2つの不等式が入れ替わる)。上下の放物線は合同で、開く向きだけが逆 — 面積を「片方の放物線と弦の間の2倍」と読む道もある。対称性に気づくと、検算の視点が1つ増える。

別解

別解 — 1/6公式で瞬殺する(得意な人向けの時短ルート)。 上下の差をとると

$$(2-x^2)-x^2=-2x^2+2=-2(x-1)(x+1).$$

2次関数と $x$ 軸(差が $0$ になる2点 $\pm 1$)で囲む形なので、1/6公式が使える。

$$S=\frac{|-2|}{6}\{1-(-1){\}}^3=\frac{2}{6}\cdot 8=\frac{8}{3}.$$

「上 $-$ 下」を1つの2次関数とみなせば、放物線2本の問題も1/6公式の射程内。積分の計算(本解)と必ず一致するので、片方を検算に使うとよい。