数学II / 軌跡と領域

直角を見込む点の軌跡

★★★ 応用軌跡円

問題

原点 $O$ を通る直線 $ℓ_{1}$ と、点 $A (4, 0)$ を通り $ℓ_{1}$ に垂直な直線 $ℓ_{2}$ の交点を $P$ とする。 $ℓ_{1}$ の傾きが変化するとき、 $P$ の軌跡を求めよ。

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$2$ 直線がつねに垂直ということは、 $P$ から $2$ 定点を見込む角がつねに一定。この『見込む角』から連想される円があるはず。除外すべき点がないかも吟味を。

解答・解説

方針

$ℓ_{1} ⊥ ℓ_{2}$ なので、交点 $P$ から見て $O$ と $A$ は直角に見える( $∠ OPA = 9 0^{\circ}$ )。直角を見込む点は、その2点を直径とする円上にある。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $ℓ_{1} ⊥ ℓ_{2}$ だから、交点 $P$ から $O$ と $A$ は直角に見える( $∠ OPA = 9 0^{\circ}$ )。

直角を見込む点は、その $2$ 点を直径とする円の上にある(タレスの定理)。

「直角を見込む点は直径の円上」と言い換えると、座標の計算がほとんど要らなくなる。

定理線分

OA

を直角に見込む点(

∠ OPA = 9 0^{\circ}

)は、

OA

を直径とする円上にある

$ℓ_{1} ⊥ ℓ_{2}$ で、 $P$ は $ℓ_{1}$ ( $O$ を通る)と $ℓ_{2}$ ( $A$ を通る)の交点。よって $PO ⊥ PA$ 、つまり $∠ OPA = 9 0^{\circ}$ 。

直角を見込む点は、線分 $OA$ を直径とする円上にある。直径 $OA$ の中点 $(2, 0)$ が中心、半径は $\frac{OA}{2} = 2$ 。

$(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$

除外点を吟味する。 $ℓ_{1}$ が $x$ 軸(傾き $0$ )のとき、 $ℓ_{2}$ は直線 $x = 4$ で、交点はちょうど $A (4, 0)$ 。つまり $A$ は軌跡に含まれる。一方、交点が $O$ になるには $ℓ_{2}$ が $O$ を通る必要があるが、傾き $m$ の $ℓ_{1}$ に対し $ℓ_{2}$ は $A$ を通る傾き $- \frac{1}{m}$ の直線で、 $O$ を通ると $0 = \frac{4}{m}$ となり不可能。よって除くのは $O$ だけ。

OA を直径とする円が軌跡

発展 — 一歩先へ。 ここでは見込む角が $9 0^{\circ}$ だったので、軌跡は $OA$ を直径とする円になった。見込む角を $9 0^{\circ}$ 以外の一定角 $θ$ に変えると、軌跡は $OA$ を弦とする円弧になる(同じ弧の上では円周角が一定、という定理)。

角 $θ$ が小さいほど弧はふくらんで大きな円になり、 $θ$ を $0$ に近づけると直線 $OA$ の延長にせまる。 $θ = 9 0^{\circ}$ はちょうど半円で、円の直径が $OA$ になる特別な場合だ。

端点 $O$ 、 $A$ で軌跡が切れるのは、そこでは角を見込むこと自体ができないから。円周角の定理は、この単元の「 $2$ 定点を見込む」型の軌跡すべての背骨になっている。

端点 $O$ 、 $A$ では「角を見込む」こと自体ができない。だが元の問題は「 $2$ 直線の交点」で定義されているから、端点が軌跡に入るかは、交点として実現するかで別に確かめる。今回は $A$ が傾き $0$ の交点として現れ、 $O$ はどの傾きでも現れなかった。言い換えた条件(見込む角)と元の条件(交点)のずれを端点で埋めるのが、軌跡の仕上げの一歩だ。

答

円 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ (点 $O$ を除く)

別解

別解 — いくつか実際に交点を打って円を見つける(苦手な人向けの実験ルート)。 定理を思い出す前に、手を動かして点を並べてみる。

$ℓ_{1}$ の傾きをいろいろ変え、 $ℓ_{2}$ ( $A (4, 0)$ を通り $ℓ_{1}$ に垂直)との交点 $P$ を計算する。

傾き $1$ : $ℓ_{1} : y = x$ 、 $ℓ_{2} : y = - (x - 4)$ 。交点 $P = (2, 2)$ 。
傾き $- 1$ : $P = (2, - 2)$ 。
傾き $2$ : $ℓ_{1} : y = 2 x$ 、 $ℓ_{2} : y = - \frac{1}{2} (x - 4)$ 。交点 $P = (0.8, 1.6)$ 。
傾き $0$ : $ℓ_{1}$ は $x$ 軸、 $ℓ_{2}$ は直線 $x = 4$ 。交点 $P = (4, 0) = A$ 。

これらはすべて中心 $(2, 0)$ 、半径 $2$ の円 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ の上に乗る(例: $(0.8 - 2)^{2} + 1. 6^{2} = 1.44 + 2.56 = 4$ )。 $A$ 自身も、傾き $0$ の交点としてきちんと現れる。

では $O$ はどうか。交点が $O$ になるには $ℓ_{2}$ が $O$ を通らなければならないが、 $ℓ_{2}$ は $A (4, 0)$ を通る傾き $- \frac{1}{m}$ の直線なので、 $O$ を通ると $0 = \frac{4}{m}$ となって不可能。どんな傾きでも $P$ は $O$ に届かない。だから除くのは $O$ だけ。実験で見えた円は、タレスの定理で解く本解の答えと一致する。

ポイント

直角を見込む点 → 2点を直径とする円(タレスの定理)。
直径の中点が中心、直径の半分が半径。

よくある間違い

除外点の吟味を誤る(円をそのまま答えにして $O$ を残す、逆に、傾き $0$ で交点が $A$ になることを見落として $A$ まで除いてしまう)。
直径 $OA$ の中点 $(2, 0)$ でなく、端点や原点を中心にしてしまう。
$ℓ_{1}$ の傾き $m$ の式で押し切ろうとして、 $m = 0$ の場合の確認を飛ばす。