距離の2乗の和が一定な点の軌跡

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「距離の$2$乗の和が一定」の軌跡。$\mathrm{P}(x,y)$ とおいて ${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2$ を計算する。

${\mathrm{PA}}^2=(x+2{)}^2+y^2$、${\mathrm{PB}}^2=(x-2{)}^2+y^2$。足すと、$x$ の$1$次の交差項 $+4x$ と $-4x$ が打ち消し合う。

${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=2x^2+2y^2+8=20$。整理すると $x^2+y^2=6$。原点中心の円だ。

① 立式する。 $\mathrm{P}(x,y)$ とおくと

$${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=(x+2{)}^2+y^2+(x-2{)}^2+y^2$$

② 展開する。 $(x+2{)}^2+(x-2{)}^2=2x^2+8$($x$ の $1$ 次項が消える)だから

$${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=2x^2+8+2y^2=2x^2+2y^2+8$$

③ 条件を入れる。 これが $20$ だから

$$2x^2+2y^2+8=20⟹x^2+y^2=6$$

まとめ:距離の $2$ 乗の和は「そのまま展開」。$\mathrm{A},\mathrm{B}$ が原点対称なので $x$ の $1$ 次項が消え、原点中心の円 $x^2+y^2=6$(半径 $\sqrt{6}$)になる。距離の差(アポロニウス)とは別の、和のタイプの軌跡。

発展 — 一歩先へ。 中線定理 ${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=2{\mathrm{PM}}^2+2{\mathrm{AM}}^2$($\mathrm{M}$ は $\mathrm{AB}$ の中点)から、「${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=$ 一定」の軌跡は $\mathrm{M}$ 中心の円。$3$ 点以上でも、$\sum {\mathrm{PA}}_i^2=$ 一定の軌跡は重心中心の円になる(重心からの距離の$2$乗和が保存量)。物理の慣性モーメントと同じ構造だ。

別解

別解 — 中点定理(パップスの中線定理)で一撃(得意な人向けの視点)。 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ の中点 $\mathrm{M}$ は原点 $(0,0)$。中線定理(スチュワート/パップスの定理)より、任意の点 $\mathrm{P}$ で

$${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=2{\mathrm{PM}}^2+2{\mathrm{AM}}^2.$$

$\mathrm{M}$ は原点だから ${\mathrm{PM}}^2=x^2+y^2$。$\mathrm{AM}=2$($\mathrm{A}(-2,0)$ から原点まで)だから ${\mathrm{AM}}^2=4$。代入して

$${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=2(x^2+y^2)+2\cdot 4=2(x^2+y^2)+8=20.$$

$x^2+y^2=6$。座標で展開する本解と同じ円だが、中線定理を知っていれば「$2{\mathrm{PM}}^2+2{\mathrm{AM}}^2$」に代入するだけ。${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2$ が「中点 $\mathrm{M}$ からの距離」で書けるので、軌跡が $\mathrm{M}$ 中心の円になるのは当然、と見える。