アポロニウスの円

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「距離の比が一定」— 前問までと違って、比が $1:1$ ではない。結果は直線ではなく、円になる(アポロニウスの円)。

手順は同じ。$\mathrm{P}(x,y)$ とおいて、条件を式にする。

$$\mathrm{PO}:\mathrm{PA}=1:2⟹2\mathrm{PO}=\mathrm{PA}$$

比の式を、掛け算の式に直すのが第一歩(内項の積 $=$ 外項の積)。

$2$ 乗して根号を外す。

$$4{\mathrm{PO}}^2={\mathrm{PA}}^2$$

$$4(x^2+y^2)=(x-6{)}^2+y^2$$

展開して整理する。 $x^2$、$y^2$ の項が消えずに残る(係数が $4$ と $1$ で違うから)。

$$3x^2+3y^2+12x-36=0⟹x^2+y^2+4x-12=0$$

平方完成して

$$(x+2{)}^2+y^2=16$$

円である。$2$ 乗の項が消えるかどうかが、直線と円の分かれ目だった。

$\mathrm{P}(x,y)$ とおく。$\mathrm{PO}:\mathrm{PA}=1:2$ より $2\mathrm{PO}=\mathrm{PA}$。2乗して

$$4{\mathrm{PO}}^2={\mathrm{PA}}^2\Rightarrow 4(x^2+y^2)=(x-6{)}^2+y^2$$

展開して整理する。

$$4x^2+4y^2=x^2-12x+36+y^2\Rightarrow 3x^2+3y^2+12x-36=0$$

両辺 $3$ で割り、平方完成する。

$$x^2+y^2+4x-12=0\Rightarrow (x+2{)}^2+y^2=16$$

中心 $(-2,0)$、半径 $4$ の円。

発展 — 一歩先へ。 アポロニウスの円は、$2200$ 年前のギリシャの数学者アポロニウスにちなむ。彼は円錐曲線の研究者としても知られる。

この円は、現代でも意外な場所で使われている。

$1$ つ目: 電波・音の強度。 $2$ つの発信源からの信号強度の比が一定になる場所は、アポロニウスの円を描く。信号の届く範囲の設計に使われる。

$2$ つ目: 双曲線航法。 距離の差が一定なら双曲線になる — 電波の到達時間差から船や飛行機の位置を割り出す航法(ロランなど)は、この原理で動いていた。GPS 以前の航法の主役だった。

$3$ つ目: 複素数平面での美しい表現。 数Cで複素数平面を学ぶと、アポロニウスの円は $1$ 行で書ける。

$$\left|\frac{z-\alpha }{z-\beta }\right|=k(k>0,k\ne 1)$$

「$2$ 点からの距離の比が $k$」が、そのまま複素数の絶対値の比になる。 $k=1$ のときだけ直線(垂直二等分線)、それ以外は円 — $1$ つの式が、$2$ つの図形を統一的に表す。

さらに深い視点。 複素数平面で $w=\frac{z-\alpha }{z-\beta }$ という変換($1$ 次分数変換)を考えると、この変換は「円と直線」を「円と直線」に移すという驚くべき性質を持つ(メビウス変換という)。

円と直線は、実は同じ仲間だった。 直線とは「半径が無限大の円」なのだ — アポロニウスの円で「比が $1:1$ なら直線」となったことの、深い理由がここにある。

$2$ 点からの距離の比、という素朴な条件が、複素関数論という広大な世界の入り口になっている。

別解

計算せずに、アポロニウスの円を作図で求める方法がある。 「内分点と外分点が、直径の両端になる」という美しい事実だ。

発想: 直線 $\mathrm{OA}$ 上には、条件を満たす点が $2$ つある。

$1$ つ目: 線分 $\mathrm{OA}$ を $1:2$ に内分する点。

$$\mathrm{B}\left(\frac{2\cdot 0+1\cdot 6}{1+2},0\right)=\mathrm{B}(2,0)$$

確かめる: $\mathrm{BO}=2$、$\mathrm{BA}=|6-2|=4$。比は $2:4=1:2$ ✓ 条件を満たす。

$2$ つ目: 線分 $\mathrm{OA}$ を $1:2$ に外分する点。

$$\mathrm{C}\left(\frac{-2\cdot 0+1\cdot 6}{1-2},0\right)=\mathrm{C}(-6,0)$$

確かめる: $\mathrm{CO}=6$、$\mathrm{CA}=|6-(-6)|=12$。比は $6:12=1:2$ ✓ これも条件を満たす。

ここからが本題。この $2$ 点 $\mathrm{B}(2,0)$、$\mathrm{C}(-6,0)$ は、求める円の"直径の両端"である。

中心は $\mathrm{BC}$ の中点。

$$\left(\frac{2+(-6)}{2},0\right)=(-2,0)$$

半径は $\mathrm{BC}$ の半分。

$$\frac{|2-(-6)|}{2}=\frac{8}{2}=4$$

$$(x+2{)}^2+y^2=16✓$$

計算ルートと同じ答えが、内分点・外分点だけで出た。

なぜ、内分点と外分点が直径の両端になるのか。

$\mathrm{PO}:\mathrm{PA}=1:2$ を満たす点 $\mathrm{P}$ から見ると、$\mathrm{PB}$ は $\angle \mathrm{OPA}$ の二等分線、$\mathrm{PC}$ は外角の二等分線になる(数Aで学んだ「角の二等分線と辺の比」の定理の逆)。

内角の二等分線と外角の二等分線は、必ず垂直($\angle$ の半分 $+$ 外角の半分 $=90^{\circ }$)。

$$\angle \mathrm{BPC}=90^{\circ }$$

$\mathrm{P}$ から線分 $\mathrm{BC}$ を見込む角が、いつも直角。 ということは、タレスの定理より $\mathrm{P}$ は $\mathrm{BC}$ を直径とする円の上にいる — これがアポロニウスの円の正体だ。

幾何の定理($2$ 本の二等分線が垂直)が、代数の計算($4(x^2+y^2)=(x-6{)}^2+y^2$)と同じ答えを出す。

大事な注意: 比が $1:1$ のときは、円にならない。

$\mathrm{PO}=\mathrm{PA}$ なら、$2$ 乗の項が打ち消し合って直線、つまり垂直二等分線になる。作図で言えば「外分点が無限遠に飛んでしまう」— 円が無限に大きくなり、直線に化けるのだ。

$$\text{比が }1:1\to \text{直線}$$ $$\text{比が }1:1\text{でない}\to \text{円(アポロニウスの円)}$$

たった $1$ つの数の違いで、図形の種類が変わる。 軌跡の問題では、「$2$ 乗の項が消えるかどうか」を、計算の途中で必ず意識したい。