数学II / 軌跡と領域

円板の像(2乗の写像)

最難関編領域の像全射の確認

問題

実数 $x, y$ が $x^{2} + y^{2} \leq 1$ を満たしながら動くとき、点 $(X, Y) = (x^{2} - y^{2}, 2 x y)$ の動く範囲を求め、図示せよ。

ヒントを見る

まず $X^{2} + Y^{2}$ を計算してみる — きれいな恒等式にまとまらないか。それで「入る」ことは言えるが、「範囲を求めよ」に答えるには足りない。目標の点から逆に $x, y$ を作れるか。

解答・解説

方針

恒等式 (x²−y²)²+(2xy)²=(x²+y²)² から、像の原点からの距離はもとの距離の2乗 — 像は単位円板に入る。逆に円板のどの点にも届くこと(全射)は、目標 (X,Y) から x², y² を復元する連立を解いて原像を実際に作って示す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず像の位置を測る。 $X^{2} + Y^{2}$ を計算すると

$(x^{2} - y^{2})^{2} + (2 x y)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4} = (x^{2} + y^{2})^{2}$

という恒等式にまとまる。像の原点からの距離は、もとの点の距離の2乗だ。 $x^{2} + y^{2} \leq 1$ なら像は単位円板に入る(必要方向)。

だが「動く範囲」を答えるには、円板のどの点にも実際に届くこと(十分方向)が要る。こちらは目標 $(X, Y)$ から $x^{2}, y^{2}$ を復元する連立(和と差)を解いて、原像を手で作ればよい。

重要

(x^{2} - y^{2})^{2} + (2 x y)^{2} = (x^{2} + y^{2})^{2}

。範囲を求める問題は「入る(必要)」と「届く(十分)」の両方向で確定する

① 入ること。 上の恒等式から $X^{2} + Y^{2} = x^{2} + y^{2} \leq 1$ 。よって像は $X^{2} + Y^{2} \leq 1$ に含まれる。

② 届くこと(原像の構成)。 $X^{2} + Y^{2} \leq 1$ の任意の点 $(X, Y)$ をとり、 $s = X^{2} + Y^{2}$ とおく( $0 \leq s \leq 1$ )。連立

$x^{2} - y^{2} = X, x^{2} + y^{2} = s$

を解くと $x^{2} = \frac{s + X}{2}, y^{2} = \frac{s - X}{2}$ 。 $s \geq ∣ X ∣$ だからどちらも0以上で、実数 $x, y$ がとれる。 $x = \frac{s + X}{2} (\geq 0)$ とし、 $y$ の符号を $Y$ と同符号に選ぶと

$2 x y = \pm 2 \frac{s ^{2} - X ^{2}}{4} = \pm Y^{2} = Y$

となり、たしかに $(X, Y)$ にうつる。しかも $x^{2} + y^{2} = s \leq 1$ で、出発点は円板の中にある。

③ 結論。 動く範囲は単位円板 $X^{2} + Y^{2} \leq 1$ の全体。

像は単位円板全体(色部分)。半径 r の円は半径 r² の円にうつるので、0≤r≤1 のすべての円が円板を埋め尽くす

まとめ: 恒等式で「入る」、逆像の構成で「届く」。領域の像は、必ずこの両方向で仕留める。この写像は半径 $r$ の円を半径 $r^{2}$ の円へうつす(角も2倍に回る)もので、円板が円板へぴったり畳み込まれる様子が恒等式1本に凝縮されている。

発展 — 一歩先へ。 複素数の言葉では、この写像は $z = x + y i$ に対する $z^{2}$ そのものだ( $z^{2} = (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i$ )。数Cで複素数平面を学ぶと、「絶対値は2乗、偏角は2倍」という本問の構造が、 $z^{2}$ の基本性質として再会する。

答

単位円板 $X^{2} + Y^{2} \leq 1$ の全体

別解

極形式(倍角)で正体を見る(順手ルート)。 点を極形式 $x = r cos θ, y = r sin θ$ ( $0 \leq r \leq 1$ )で書いて、像を直接計算する。

倍角の公式から

$X = x^{2} - y^{2} = r^{2} (cos^{2} θ - sin^{2} θ) = r^{2} cos 2 θ, Y = 2 x y = r^{2} sin 2 θ$

つまり像の点は「原点からの距離 $r^{2}$ 、角 $2 θ$ 」の位置にある。距離は2乗され、角は2倍に回る写像だったのだ。

範囲は一目で読める。 $r$ が $0$ から $1$ を動くと距離 $r^{2}$ も $0$ から $1$ を動き、 $θ$ が1周すると角 $2 θ$ は2周する(すべての方向を覆う)。よって像は単位円板の全体。

「入る・届く」の2方向(本解)が、極形式では「距離と角の動く範囲」という1つの記述に融合する。座標の取り替えは、証明の骨格まで変えてしまう。

ポイント

$X^{2} + Y^{2} = (x^{2} + y^{2})^{2} \leq 1$ (入る)。
$x^{2} = \frac{s + X}{2}, y^{2} = \frac{s - X}{2}$ で原像を構成(届く)。
範囲は単位円板全体。

よくある間違い

「入る」(必要)だけ示して答える。範囲を求める問題は「届く」(全射)の確認までがセット。
原像の構成で $x^{2} = \frac{s + X}{2} \geq 0$ の根拠( $s \geq ∣ X ∣$ )を書かない。
$y$ の符号の選び方( $Y$ と同符号)を曖昧にする。 $2 x y$ の符号が $Y$ に合うのはこの選択のおかげ。