2直線の交点の軌跡

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 直線の交点の軌跡は、媒介変数 $m$ を消去する。交点を $m$ で表すか、$m$ を消しやすい形にする。

$2$ 式 $mx-y=0$、$x+my-2=0$ から $m$ を消す。第 $1$ 式は $m=\frac{y}{x}$、これを第 $2$ 式に入れてもよいが、より対称に扱う。

$2$ 直線は $m$ の値によらず直交する(傾きの積 $m\cdot \left(-\frac{1}{m}\right)=-1$)。しかも第 $1$ 直線は原点を、第 $2$ 直線は定点 $(2,0)$ を通る。直角に交わる $2$ 直線の交点は、$2$ 定点を直径の両端とする円(タレスの円)を描く。

① $m$ を消す準備。 第 $1$ 式 $mx-y=0$ より $mx=y$。第 $2$ 式 $x+my-2=0$ の $my$ に注目し、第 $1$ 式を $y$ 倍…ではなく、第 $1$ 式に $m$ を掛けると $m^{2}x-my=0$。第 $2$ 式 $my=2-x$ と合わせる。

② 代入して消去する。 第 $1$ 式より $m=\frac{y}{x}$($x\ne 0$)。第 $2$ 式に代入して

$$x+\frac{y}{x}\cdot y-2=0⟹x+\frac{y^2}{x}=2⟹x^2+y^2=2x$$

③ 整理する。

$$x^2-2x+y^2=0⟹(x-1{)}^2+y^2=1$$

ただし $m=\frac{y}{x}$ とおいたので、原点 $(0,0)$ は除く(実際 $x=0$ のとき第 $1$ 式は $y=0$ で、この直線の組は原点を共有できるが、$m$ で表せない)。

まとめ:交点の軌跡は「$m$ を消去」。第 $1$ 式から $m=\frac{y}{x}$ を作って代入するのが素直。$2$ 直線はつねに直交(傾き $m$ と $-\frac{1}{m}$)し、定点 $(0,0)$ と $(2,0)$ を直角に見込むので、直径 $2$ の円(中心 $(1,0)$)になる。

発展 — 一歩先へ。 $2$ 直線が「つねに直交し、それぞれ定点を通る」なら、交点は $2$ 定点を直径の両端とする円(タレスの円)を描く。円周角の定理「直径を見込む角は直角」の逆だ。パラメータで動く直線の交点の軌跡は、消去法で円・放物線などの二次曲線になることが多い。

別解

別解 — $2$ 式の積・和で $m$ を消す(計算で押し切るルート)。 $m$ を含む $2$ 式から、$m$ を機械的に消去する。第 $1$ 式 $mx=y$、第 $2$ 式 $my=2-x$。

$2$ 式を辺々掛ける: $mx\cdot my=y(2-x)$、すなわち $m^{2}xy=y(2-x)$。$m^2=\frac{y}{x}\cdot \frac{2-x}{y}$…ではなく、$m=\frac{y}{x}$(第 $1$ 式)を第 $2$ 式 $x+my=2$ に代入する。

$$x+\frac{y}{x}\cdot y=2⟹x^2+y^2=2x⟹(x-1{)}^2+y^2=1.$$

ただし $x=0$(原点)は $m$ が定まらない($m\to \infty$ の極限)ので除く。

タレスの円(本解)を使わず、$m=\frac{y}{x}$ を代入して消去しても円 $(x-1{)}^2+y^2=1$ に着く。$x^2+y^2=2x$ の形は「原点と $(2,0)$ を直径とする円」で、$2$ 直線が原点と $(2,0)$ を通り直交する、というタレスの構図と一致する。