円ではさまれた領域

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $1<x^2+y^2<4$ — これは $2$ つの不等式を、まとめて書いたものだ。

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2>1\\ x^2+y^2<4\end{array}$$

$1$ 本ずつ読む。

• $x^2+y^2>1$ → 半径 $1$ の円の外側
• $x^2+y^2<4$ → 半径 $2$ の円の内側

この $2$ つの共通部分。

「原点からの距離が $1$ より大きく、$2$ より小さい点の集まり」 — つまりドーナツ形(円環)である。

$$1<(\text{原点からの距離})<2$$

両方とも等号がないので、内側の円周も外側の円周も含まない(どちらも破線)。

距離の言葉に翻訳すれば、答えは一目で見える。

$x^2+y^2>1$ は半径 $1$ の円の外部、$x^2+y^2<4$ は半径 $2$ の円の内部。

両方を満たすのは、中心からの距離が $1$ と $2$ の間、つまり2つの円にはさまれたドーナツ形の部分。

等号がない($<$)ので、2つの境界の円はどちらも含まない(破線)。

発展 — 一歩先へ。 この円環の面積を求めてみよう。

$$(\text{外側の円板の面積})-(\text{内側の円板の面積})=\pi \cdot 2^2-\pi \cdot 1^2=4\pi -\pi =3\pi$$

ここで、大事なことに気づいてほしい。境界を含むかどうかは、面積に影響しない。

$1<x^2+y^2<4$(境界を含まない)でも、$1\leqq x^2+y^2\leqq 4$(境界を含む)でも、面積はどちらも $3\pi$ である。

なぜか。円周は「面積 $0$」だから。

線には幅がない。 どんなに長い線を集めても、面積は $0$ のままだ。だから境界を足しても引いても、面積は変わらない。

これは意外に深い事実である。 「点は大きさ $0$」「線は面積 $0$」「面は体積 $0$」— $1$ つ下の次元のものは、上の次元では"無視できる"。

この考え方が、積分の基礎になっている。 定積分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ で、区間の端点を含めても含めなくても値は同じ — 端点は「幅 $0$」だからだ。

しかし、油断は禁物。 「面積 $0$ の集合をいくら集めても面積 $0$」は、有限個や可算無限個なら正しいが、非可算無限個になると崩れる(実際、円板は「面積 $0$ の線」を非可算無限本集めたものだ)。

この微妙さを厳密に扱うために、$20$ 世紀に「測度論」という理論が作られた。 「面積とは何か」「長さとは何か」を、根本から定義し直す理論だ。

「境界を含むか含まないか」という、答案の些細な注記。 その背後に、$100$ 年前の数学者たちが格闘した問いが横たわっている。

別解

この領域は、これまでと決定的に違う性質を持っている。 そこに気づくと、図形の理解が一段深まる。

まず、代入判定で確かめる。

点 $(1.5,0)$: $x^2+y^2=2.25$。$1<2.25<4$ ✓ 領域内

点 $(0.5,0)$: $0.25$。$1<0.25$ ? → 偽 → 領域外(内側の円の中)

点 $(3,0)$: $9$。$9<4$ ? → 偽 → 領域外(外側の円の外)

点 $(1,0)$: $1$。$1<1$ ? → 偽 → 領域外(境界上なので含まない)

穴あきの輪(ドーナツ) の形が、$4$ つの点で確認できた。

さて、この領域の"新しさ"は何か。

これまでの領域(円板・くさび形・帯)は、すべて「凸」だった。 領域内の $2$ 点を結ぶ線分が、必ず領域内に収まっていた。

しかし、ドーナツは凸ではない。

点 $(1.5,0)$ と点 $(-1.5,0)$ — どちらも領域内だ。しかし、この $2$ 点を結ぶ線分は、原点を通る — そして原点は穴の中、つまり領域外である。

$$\text{領域内の 2 点を結んだのに、線分が領域からはみ出した}$$

これが「凸でない」ということ。

穴が開いている図形は、凸になれない。 ドーナツ、三日月、星形 — どれも「へこみ」や「穴」を持つ。

なぜこの区別が大事なのか。

凸な領域では、$1$ 次式の最大最小が「頂点」で決まる(問題12)。しかし凸でない領域では、この便利な性質が失われる。最大値を探すのに、領域全体をくまなく調べなければならない。

「凸か、凸でないか」は、問題の難しさを決定的に左右する。

さらに、この領域には「穴」がある。 数学では、図形の穴の個数を位相的な性質として扱う。

• 円板: 穴 $0$ 個
• ドーナツ(円環): 穴 $1$ 個
• $8$ の字: 穴 $2$ 個

穴の個数は、図形をどんなに変形しても(切ったり貼ったりしなければ)変わらない — この「変形しても変わらない性質」を研究するのがトポロジー(位相幾何学)だ。

有名な言い回し。「トポロジー学者は、コーヒーカップとドーナツを区別できない」 — どちらも穴が $1$ つで、粘土のように連続的に変形すれば移り合うからだ。

$1<x^2+y^2<4$ という不等式に色を塗る作業が、$2$ つの深い概念(凸性と位相)に触れている。 単純な図形ほど、豊かな性質を持っている。