領域と最大・最小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「領域内を動く点で、$x+2y$ の最大値」— 線形計画法の問題だ。

発想の核心: $x+2y=k$ とおいて、直線と見る。

$$x+2y=k⟺y=-\frac{1}{2}x+\frac{k}{2}$$

傾き $-\frac{1}{2}$ の直線で、$k$ が変わると"平行移動"する。 $k$ が大きいほど、直線は上へ動く($y$ 切片が $\frac{k}{2}$ だから)。

求めたいのは、「この直線が領域と共有点を持つ範囲で、$k$ を最大にする」こと。

直線を、領域の中で上へ上へと動かしていく。 領域から離れる直前 — その瞬間の $k$ が最大値だ。

そして、離れる瞬間に直線が触れているのは、必ず「頂点」である。

領域の頂点は $(0,0)$、$(4,0)$、$(0,4)$ の $3$ つ。 ここを全部調べればよい。

$x+2y=k$ は傾き $-\frac{1}{2}$ の直線。$k$ を大きくすると直線は上へ動き、領域からはみ出す直前(=領域の頂点)で最大。

領域は頂点 $(0,0)$、$(4,0)$、$(0,4)$ の三角形。各頂点で $x+2y$ を計算する。

$$(0,0):0,(4,0):4,(0,4):0+8=8$$

一番大きいのは $(0,4)$ での $8$。よって最大値は $8$。

発展 — 一歩先へ。 この解法(直線を平行移動させて、領域との接点を探す)は、目的関数が $1$ 次式でなくても使える。

例: 同じ領域で、$x^2+y^2$ の最大値・最小値は?

$$x^2+y^2=k\text{とおくと、これは}\text{原点中心、半径}\sqrt{k}\text{の円}$$

円を大きくしたり小さくしたりして、領域と接する瞬間を探す。

• 最小: 円を小さくしていくと、原点 $(0,0)$ で領域に触れる → $k=0$
• 最大: 円を大きくしていくと、いちばん遠い頂点で領域から離れる → $(4,0)$ か $(0,4)$ で $k=16$

「$k=$ 定数」の図形を描いて、領域と接する瞬間を探す — これが一般的な戦略だ。

目的関数が変わると、動かす図形も変わる。

「$\frac{y}{x}$ の最大」なら、原点から領域内の点へ引いた直線の"傾き"の最大 — 図で考えれば一瞬で分かる。

この「等高線を動かす」という発想は、大学の最適化理論でも中心的な道具である。目的関数の等高線(値が等しい点の集まり)を描き、制約領域と接する点を探す — その接点で、等高線と制約の境界が接するという条件(ラグランジュの未定乗数法)が、最適性の判定条件になる。

高校でやっている「直線を動かす」作業は、その最も簡単な場合なのだ。

図形的な直感が、最適化の理論に直結する。 数式を眺めるだけでなく、「この式が $=k$ のとき、どんな図形か」と問う習慣を持ちたい。

別解

「頂点を全部調べる」ルートを実行し、そのうえで「なぜ頂点でよいのか」を、直線を動かす絵で確かめよう。

頂点の値を、すべて計算する。

領域は $3$ 点 $(0,0)$、$(4,0)$、$(0,4)$ を頂点とする三角形。$x+2y$ の値は

最大値は $8$、点 $(0,4)$ でとる ✓

ついでに最小値も分かる。 $(0,0)$ で $0$ だ。

「頂点を全部調べるだけ」 — 微分も、複雑な計算も要らない。$3$ 個の値を比べるだけ。

なぜこれで正しいのか。直線を動かして確かめる。

$x+2y=k$ という直線を、$k$ を変えながら動かしてみよう。

• $k=0$: 直線 $y=-\frac{1}{2}x$ は原点を通る。領域と接している(原点で)
• $k=4$: 直線は少し上へ。頂点 $(4,0)$ を通り、領域を横切っている
• $k=8$: 直線は頂点 $(0,4)$ を通る。領域とギリギリ接している
• $k=9$: 直線はさらに上へ。もう領域と交わらない

$k=8$ が限界。 これ以上大きくすると、直線は領域から離れてしまう。

そして、その限界の瞬間、直線は頂点 $(0,4)$ に触れていた。

これが「最適解は頂点にある」ことの、視覚的な証明である。

なぜ頂点なのか。 直線を平行移動させると、領域との共有部分は「面 → 線分 → 点 → 消滅」と減っていく。最後に残る点が、頂点なのだ(領域が多角形なら、角が最後まで残る)。

特別な場合: 辺全体が最大値をとることもある。

もし目的関数が $x+y$ だったら?(傾き $-1$)

境界の辺 $x+y=4$ と平行になる。すると、この辺の上のすべての点で $x+y=4$ となり、最大値をとる点が無数にある。

それでも「頂点を調べれば見つかる」 — 辺の端の頂点 $(4,0)$ と $(0,4)$ も、ちゃんと $4$ という最大値をとっている。だから頂点だけ調べれば、最大値そのものは必ず見つかる。

この保証が、線形計画法を実用的にしている。 無限個ある領域内の点を、有限個の頂点に絞り込める — これが決定的なのだ。

答案の書き方。

$$\text{「x+2y=k とおくと、これは傾き −21 の直線。}$$ $$\text{領域と共有点を持つ範囲で k が最大になるのは、点 (0,4) を通るとき。よって最大値 8」}$$

「直線を動かす」という言葉を、必ず書く。 頂点の値を計算しただけでは、「なぜ最大と言えるのか」の説明になっていない — 論理の筋道を示すのが、答案である。