数学II / 軌跡と領域

交点の軌跡(媒介変数の消去)

★★ 標準軌跡媒介変数

問題

$m$ が実数全体を動くとき、2直線 $x - m y = 0$ と $m x + y = 2$ の交点 $P$ の軌跡を求めよ。

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$2$ つの式に共通して現れる $m$ を消すのが目標。どちらかの式から $m$ を表して他方に代入しよう。消すときに割り算を使ったなら、割った文字が $0$ になる場合を別に確認すること。

解答・解説

交点は2式を同時に満たす。 $m$ を消去して $x$ 、 $y$ だけの関係式にすれば、それが軌跡。 $m$ を一方の式から求めて他方へ代入する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交点の座標は $m$ とともに動く。ほしいのは「 $m$ が消えた、 $x$ と $y$ だけの関係式」だ。

一方の式から $m$ を解いて、他方に代入する。これが媒介変数消去の基本動作である。

消去の割り算で分母が $0$ になる場合( $y = 0$ など)は別に検分する。この検分から「除く点」が見つかるのが、この型の問題の定番の落とし穴だ。

重要交点の軌跡:2式から媒介変数(

m

)を消去して、

x

・

y

の関係式にする

1つ目 $x - m y = 0$ から $x = m y$ 。2つ目 $m x + y = 2$ に代入する。

$m (m y) + y = 2 \Rightarrow (m^{2} + 1) y = 2$

ここで $x = m y$ より $m = \frac{x}{y}$ ( $y \neq = 0$ )。代入して

$(\frac{x ^{2}}{y ^{2}} + 1) y = 2 \Rightarrow \frac{x ^{2} + y ^{2}}{y} = 2 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 2 y$

平方完成して

$x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$

中心 $(0, 1)$ 、半径 $1$ の円。ただし、どんな $m$ でも原点は交点にならないので、原点 $(0, 0)$ は除く。

交点の軌跡は円(原点を除く)

発展 — 一歩先へ。 「それぞれ定点を通る、直交する2直線の交点」という今日の構図は、この型の軌跡問題の多くに隠れている。2つの定点を見つけて垂直を確かめる、が最初の観察項目だ。

除外点は「媒介変数 $m$ で実現できない点」から生まれる。 $m$ は実数なので、 $m \to \infty$ に対応する位置(今回は $(0, 2)$ ではなく $(0, 0)$ 側)が届かない。媒介変数の可動範囲と軌跡の欠けは、常にセットで検分する習慣をつけたい。

答

円 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ (原点を除く)

2直線の「向き」を見比べると、消去計算の前に答えの正体が見える。

$x - m y = 0$ は必ず原点 $O (0, 0)$ を通る。 $m x + y = 2$ は必ず定点 $A (0, 2)$ を通る。

そして2直線の傾きの積(方向どうしの内積)を調べると、どんな $m$ でも垂直だ。

つまり交点 $P$ は、いつでも「 $O$ と $A$ を直角に見込む点」。直角を見込む点の集まりは、 $OA$ を直径とする円(タレスの定理)だから

$x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$

ただし $O (0, 0)$ 自身は、第2の直線 $m x + y = 2$ が通れない( $0 = 2$ になる)ので除く。

「動く2直線が、それぞれ定点を通り、常に垂直」— この構図を見抜けば、軌跡の円は計算なしで描ける。除外点の理由も、式でなく図の言葉で説明できる。