数学II / 軌跡と領域

媒介変数で表された点の軌跡

★★★ 応用軌跡媒介変数

問題

実数 $a$ に対して点 $P (a + 1, a^{2})$ を考える。 $a$ が実数全体を動くとき、 $P$ の軌跡を求めよ。

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媒介変数の軌跡は『 $a$ を消す』に尽きる。どちらの式から $a$ を表すのが楽か。消したあと、 $x$ の動ける範囲に制限が生じないかも確認しよう。

解答・解説

$x = a + 1$ 、 $y = a^{2}$ とおく。 $x$ の式から $a$ を求め、 $y$ の式に代入して $a$ を消去する。残った $x$ 、 $y$ の関係式が軌跡。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 媒介変数表示の軌跡は、パラメータ $a$ を消すことに尽きる。

$x = a + 1$ 、 $y = a^{2}$ の $2$ 式がある。 $x$ の式は $a$ について簡単に解けて $a = x - 1$ 。

これを $y = a^{2}$ に代入すれば $a$ が消え、 $x$ と $y$ の関係式が残る。消しやすい式から $a$ を解く、という定跡を確認する問題だ。

重要媒介変数の軌跡:

x

、

y

をパラメータ(

a

)で表し、

a

を消去する

$x = a + 1$ 、 $y = a^{2}$ とおく。 $x$ の式から

$a = x - 1$

これを $y = a^{2}$ に代入して $a$ を消す。

$y = (x - 1)^{2}$

$a$ は実数全体を動くので、 $x = a + 1$ も実数全体をとる。よって軌跡は放物線 $y = (x - 1)^{2}$ 全体。

軌跡は放物線 y=(x-1)²

発展 — 一歩先へ。 媒介変数表示 $x = f (a)$ 、 $y = g (a)$ から $a$ を消すと、 $x$ と $y$ の関係式(陰関数)が得られる。ここでは $a$ が実数全体を動き、 $x = a + 1$ も実数全体をとるので、放物線が丸ごと現れた。

注意が要るのは、消去のときに動ける範囲が狭まる場合だ。たとえば $x = a^{2}$ なら $x \geq 0$ に限られ、軌跡は放物線の一部になる。式だけ見て「全体」と早合点せず、 $x$ のとれる範囲を必ず確かめる。

逆に、 $x$ 、 $y$ を $1$ つのパラメータで表すと、円・楕円・サイクロイドなど、陰関数のままでは動かしにくい曲線も点の動きとして描ける。媒介変数と陰関数を行き来する感覚は、この先の曲線の問題で効いてくる。

答

放物線 $y = (x - 1)^{2}$

別解 — 基本の放物線 $y = x^{2}$ を右へずらしたものと見る(得意な人向けの視点)。 $a$ を消す計算をせず、図形の移動として捉える。

点 $(a, a^{2})$ は、放物線 $y = x^{2}$ の上の点そのものだ( $a$ が $x$ 座標)。いまの点は $P (a + 1, a^{2})$ で、 $x$ 座標だけが $1$ 大きい。

つまり $P$ は、 $y = x^{2}$ 上の点を右へ $1$ だけ平行移動した点。 $a$ が実数全体を動くと、放物線 $y = x^{2}$ が丸ごと右へ $1$ ずれる。

移動後の式は $y = (x - 1)^{2}$ 。 $a$ を代入で消す本解と同じ放物線。「 $y = x^{2}$ を右へ $1$ 」と見れば、頂点が $(0, 0)$ から $(1, 0)$ に動くことも一目で分かる。