帯状の領域

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $|x|<2$ — 絶対値は、$0$ からの距離である。

$$|x|<2⟺(\text{x の、原点からの距離})<2$$

数直線で考えると、$-2$ と $2$ のあいだ。

$$-2<x<2$$

ここで、重要な確認をする。$y$ についての条件は、$1$ つもない。

ということは、$y$ はどんな値でもよい。 $y=100$ でも $y=-1000$ でも、$x$ が $-2$ と $2$ のあいだにありさえすれば、条件を満たす。

だから領域は、縦方向に無限に伸びる「帯」になる。

$2$ 本の縦線 $x=-2$、$x=2$ にはさまれた、縦に無限の帯状の部分(境界は含まない、破線)。

「$y$ の条件がない $=$ $y$ は自由」 — これを見落として、線分や長方形を描いてしまうのが典型的なミスだ。

$|x|<2$ は $-2<x<2$ と同じ。$y$ には制限がないので、$x$ がこの範囲にありさえすればよい。

よって2直線 $x=-2$ と $x=2$ ではさまれた、縦の帯が領域。境界は含まない(破線)。

発展 — 一歩先へ。 絶対値 $|x|$ は「原点からの距離」だった。では $|x-a|$ は?

$$|x-a|=(\text{x と a の距離})$$

$2$ 点間の距離である。だから

$$|x-3|<2⟺(\text{3 からの距離が 2 未満})⟺1<x<5$$

数直線で、$3$ を中心に左右 $2$ ずつ。 場合分けをせずに、$3$ 秒で答えが出る。

この「距離として読む」感覚が、極限の定義で決定的な役割を果たす。

数IIIで学ぶ極限 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$ の厳密な定義は、こうだ。

$$\text{どんな }\epsilon >0\text{ に対しても、ある }\delta >0\text{ があって、}0<|x-a|<\delta ⟹|f(x)-L|<\epsilon$$

絶対値だらけだが、距離として読めば意味が見える。

• $|x-a|<\delta$ → 「$x$ が $a$ に、$\delta$ より近い」
• $|f(x)-L|<\epsilon$ → 「$f(x)$ が $L$ に、$\epsilon$ より近い」

「$x$ を $a$ に十分近づければ、$f(x)$ は $L$ にいくらでも近くなる」 — これが極限の意味だ。

絶対値は、「近さ」を測る道具である。 $|x|<2$ という不等式に色を塗る作業は、この感覚を養っている。

数学のあらゆる場面で「近い」を扱うとき、絶対値(あるいはその一般化である"ノルム")が顔を出す。 誤差、収束、近似 — すべて「距離が小さい」の言い換えなのだ。

別解

絶対値を、場合分けで外してみる。 そして「絶対値記号の扱い方」を、$3$ つの型に整理しておこう。この単元だけでなく、あらゆる場面で使う。

場合分けで外す。

$x\geqq 0$ のとき: $|x|=x$ なので

$$x<2$$

$x\geqq 0$ と合わせて、$0\leqq x<2$。

$x<0$ のとき: $|x|=-x$ なので

$$-x<2⟹x>-2$$

$x<0$ と合わせて、$-2<x<0$。

$2$ つを合わせる。

$$-2<x<2✓$$

「距離で読む」ルートと同じ答え。 ただし場合分けは手間がかかる。

絶対値の外し方、$3$ つの型。

型1: 距離として読む(最速)

$$|x|<a⟺-a<x<a(a>0)$$

$$|x|>a⟺x<-a\text{または}x>a$$

「$<$ ならはさむ、$>$ なら外側に飛ぶ」 — この $2$ 行を覚えれば、単純な絶対値は一瞬で外れる。

型2: 場合分け(確実)

中身の符号で場合分けする。 どんな複雑な式でも通用するが、時間がかかる。

型3: $2$ 乗する($2$ 乗が使える形のとき)

$$|x|<2⟺x^2<4$$

両辺とも $0$ 以上なので、$2$ 乗しても同値。 $x^2-4<0$ → $(x-2)(x+2)<0$ → $-2<x<2$ ✓

$|x|=|y|$ のような形では、この $2$ 乗が特に効く($x^2=y^2$ → $x=\pm y$)。

さて、この領域が「帯」になることを、もう $1$ 度確かめよう。

点 $(1,100)$: $|1|=1<2$ ✓ → 領域内($y$ がどんなに大きくても関係ない)

点 $(1,-50)$: 同じく ✓ → 領域内

点 $(3,0)$: $|3|=3<2$ ? → 偽 → 領域外

$x$ 座標だけで、すべてが決まっている。

もし条件が $|y|<2$ だったら? 今度は横方向の帯($-2<y<2$、左右に無限)になる。

もし $|x|<2$ かつ $|y|<2$ だったら? $2$ つの帯の共通部分 — $1$ 辺 $4$ の正方形(の内部)である。

「条件のない変数は、自由に動く」 — 領域の問題では、この視点が決定的に重要だ。式に出てこない文字にこそ、注意を払う。