領域の面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず領域の姿を確定する。3つの1次不等式は、原点・$(4,0)$・$(0,4)$ の直角三角形を作る。

$x^2+y^2\ge 4$ は円の「外側」。つまり三角形から、円の内側(第1象限ぶんの四分円)をくり抜いた形だ。

面積は引き算で、$\frac{1}{2}\times 4\times 4-\frac{1}{4}\pi \times 2^2=8-\pi$。図形を「基本図形の足し引き」に分解するのが領域の面積の定石である。

$x\ge 0$、$y\ge 0$、$x+y\le 4$ は、頂点 $(0,0)$、$(4,0)$、$(0,4)$ の直角三角形。面積は

$$\frac{1}{2}\times 4\times 4=8$$

$x^2+y^2\ge 4$ は半径 $2$ の円の外側。だから円の内側(第1象限にある四分円)を三角形から取り除く。四分円の面積は

$$\frac{1}{4}\times \pi \times 2^2=\pi$$

求める面積は

$$8-\pi$$

発展 — 一歩先へ。 もし円の半径が $2\sqrt{2}$ を超えると、円が斜辺を横切り、くり抜きの形が「弓形の調整」を要する一段難しい計算になる。今日の検分1は、その分岐点を見張っていたのだ。

曲線で囲まれた一般の面積は、数学IIの後半で学ぶ積分の主戦場になる。「基本図形の足し引き」で済む形と、積分が要る形の境目を知っておくと、道具選びが速くなる。

別解

引き算が正しく成立するかの「検分」まで含めて、初めて完答になる。2つの確認を紹介する。

確認1: くり抜く円が、本当に三角形の中に収まっているか。もし円が斜辺 $x+y=4$ を突き抜けていたら、単純な引き算は過剰に引くことになる。原点から斜辺までの距離は $\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\approx 2.83$。半径 $2$ より大きいから、円は斜辺に届かない。安全だ。

確認2: どちら側をくり抜くか。テスト点として原点を $x^2+y^2\ge 4$ に入れると $0\ge 4$ で不成立。つまり原点側(円の内側)が除外される側で、確かに「くり抜き」だ。

この2つの検分は、図を雑に描いたときの事故(円がはみ出す配置を見落とす、内外を逆に塗る)を確実に防ぐ。面積の計算自体より、この検分こそが領域問題の実力である。