数学II / 軌跡と領域

円と直線の連立領域

★★ 標準領域

問題

連立不等式 $x^{2} + y^{2} \leq 4$ 、 $y \geq x$ の表す領域を図示せよ。

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円の内部と、直線の上側。 $2$ つを別々に塗ってから重なりを取る。境界のどこが含まれてどこが含まれないかまで、図に描き分けよう。

解答・解説

$x^{2} + y^{2} \leq 4$ は円の内部、 $y \geq x$ は直線の上側。この2つの共通部分は、円を直線で切った半円形になる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 連立不等式の領域は、1本ずつ描いてから重ねる。

$x^{2} + y^{2} \leq 4$ は円の内部(境界込み)。 $y \geq x$ は直線 $y = x$ の上側(境界込み)。

2つの共通部分だけが答えの領域だ。図を描いたら、境界線が実線(含む)か破線(含まない)かの区別まで書き込んで仕上げる。

重要円と直線の連立領域は、円の内部と半平面の共通部分

$x^{2} + y^{2} \leq 4$ は半径 $2$ の円の内部と周。 $y \geq x$ は直線 $y = x$ の上側(境界含む)。

両方を満たすのは、円を直線 $y = x$ で切った、上側の半円形の部分。どちらも等号つきなので、境界(円弧と弦)を含む。

円の内部かつ直線 y=x の上側

発展 — 一歩先へ。 領域の図は、それ自体が答えであると同時に、次の段階(領域上の最大最小=線形計画法)の舞台になる。境界の実線・破線の区別は、最大値が「存在する」か「近づけるだけ」かを分ける実質的な情報だ。

「かつ=共通部分、または=和集合」の対応は、集合と命題で学んだ論理がそのまま図になったもの。不等式の否定( $>$ の反対側)まで含め、論理と図の翻訳を自在にしたい。

答

円 $x^{2} + y^{2} = 4$ の内部のうち、直線 $y = x$ より上側の半円形(境界を含む)

「どちら側を塗るか」で迷ったら、テスト点方式が確実だ。代表の点を1つ選んで、不等式に入れてみる。

たとえば点 $(0, 1)$ を試す。

両方成立したから、 $(0, 1)$ を含む側 — 円の内側かつ直線の左上側 — が求める領域だ。

逆に $(1, - 1)$ を試すと $y \geq x$ が $- 1 \geq 1$ で不成立。この点の側は塗らない。

境界線が領域を2つに分けるとき、どちらか一方の点で判定すれば全体が決まる(境界をまたがない限り真偽は変わらないからだ)。「上側・下側」の暗記より、この1点実験のほうが、複雑な曲線でも間違えない。