数学II / 軌跡と領域

接線族の通過領域(単位円の外部)

実戦編軌跡と領域通過領域三角関数点と直線の距離単元横断

問題

$θ$ が実数全体を動くとき、直線 $x cos θ + y sin θ = 1$ が通過する点 $(x, y)$ 全体の領域を求めよ。

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点 $(a, b)$ を通る $⟺$ ある $θ$ で $a cos θ + b sin θ = 1$ 。左辺を合成すると $a^{2} + b^{2} sin (θ + φ)$ 。この値が $1$ になれる条件は?

解答・解説

方針

点 $(a, b)$ を通る $⟺$ $θ$ の方程式 $a cos θ + b sin θ = 1$ が解をもつ、と読みかえる。左辺を三角関数の合成で $a^{2} + b^{2} sin (θ + φ)$ にし、 $sin$ の値域から解の存在条件を出す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「 $θ$ を動かした直線の族が通る点の全体」。定石の転換をする。点 $(a, b)$ を固定して、「この点を通す $θ$ が存在するか」と問い直すのだ。

条件は $a cos θ + b sin θ = 1$ 。左辺は三角関数の合成で $a^{2} + b^{2} sin (θ + φ)$ と1つの $sin$ にまとまる。

$sin$ の値域は $[- 1, 1]$ 。だから「解 $θ$ が存在する」条件は、振幅 $a^{2} + b^{2}$ が $1$ 以上であること。存在条件が振幅の不等式に化ける。

重要

a cos θ + b sin θ = a^{2} + b^{2} sin (θ + φ)

、値域は

[- a^{2} + b^{2}, a^{2} + b^{2}]

① 通過条件に翻訳。 点 $(a, b)$ を通る $⟺$ ある $θ$ で $a cos θ + b sin θ = 1$ 。

② 合成。 左辺 $= a^{2} + b^{2} sin (θ + φ)$ (適当な $φ$ )。これが $1$ になる $θ$ が存在する条件は、 $sin$ の最大値が $1$ 以上、すなわち $a^{2} + b^{2} \geq 1.$ ③ 領域。 $a^{2} + b^{2} \geq 1$ 。よって通過領域は $x^{2} + y^{2} \geq 1 (単位円の周と外部) .$

直線 x cosθ+y sinθ=1 はすべて単位円(破線)の接線。通過領域は円周と外部 x²+y²≥1。

まとめ 「点を通る $θ$ の存在」を合成で調べると $x^{2} + y^{2} \geq 1$ 。通過領域は単位円の外部(周を含む)。各直線が単位円の接線であることと符合する。通過領域(パラメータ)と三角関数(合成)の融合。

発展 — 一歩先へ。 境界の単位円は、この直線族のどの1本とも接している=族の包絡線である。「原点から距離1」を保ったまま直線を回すと、円の形が浮かび上がる。通過領域の境界に包絡線が現れる構図は、放物線の接線族(この単元の直交2接線の問題)でも同じだ。

答

点 $(a, b)$ がこの直線群の通過点 $⟺$ $a cos θ + b sin θ = 1$ を満たす $θ$ が存在 $⟺$ 合成 $a^{2} + b^{2} sin (θ + φ) = 1$ が解をもつ $⟺$ $a^{2} + b^{2} \geq 1$ 。よって通過領域は $x^{2} + y^{2} \geq 1$ (単位円の周と外部)。

別解

別解 — 正体は「単位円の接線の族」(得意な人向けの高い視点)。 直線 $x cos θ + y sin θ = 1$ と原点の距離を測ると

$\frac{∣0 \cdot cos θ + 0 \cdot sin θ - 1∣}{cos ^{2} θ + sin ^{2} θ} = 1.$

つまりこの族は、原点から距離 $1$ の直線=単位円の接線の全体だ(接点はちょうど $(cos θ, sin θ)$ 。代入すると成り立つ)。

すると答えは図形の常識になる。円の外(と円周上)の点からは接線が引けるから通過され、円の内側の点を通る接線は存在しない。よって通過領域は $x^{2} + y^{2} \geq 1$ 。

合成(本解)の「振幅 $\geq 1$ 」という式の条件が、「点が円の外にある」という図形の条件と同じものだったと分かる。

ポイント

通過領域は「その点を通す $θ$ の存在条件」。
合成 $x^{2} + y^{2} sin (θ + φ) = 1$ が解をもつ $⟺ x^{2} + y^{2} \geq 1$ 。
領域は $x^{2} + y^{2} \geq 1$ (各直線は単位円の接線)。

よくある間違い

「ある $θ$ で通る」(存在)と「すべての $θ$ で成り立つ」(全称)を混同する — 答えがまるで変わる。
存在条件を $\frac{1}{a ^{2} + b ^{2}} \leq 1$ と書くとき分数の向きを誤る(振幅 $a^{2} + b^{2} \geq 1$ が正しい)。
境界の円周 $x^{2} + y^{2} = 1$ を含め忘れる( $sin (θ + φ) = 1$ でちょうど到達する)。