数学II / 軌跡と領域

距離の2乗の和が一定

★★ 標準軌跡

問題

2点 $A (- 2, 0)$ 、 $B (2, 0)$ について、 $PA^{2} + PB^{2} = 16$ を満たす点 $P$ の軌跡を求めよ。

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求める点を $(x, y)$ とおき、 $2$ つの距離の $2$ 乗をそれぞれ書き下ろして和をとる。整理すると意外なほど短い式になる — どんな図形だろう。

解答・解説

$P (x, y)$ とおいて $PA^{2} + PB^{2}$ を $x$ 、 $y$ で表す。2乗の和なので展開すると円の式になる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 軌跡の第一手は決まっている。動く点を $P (x, y)$ とおき、与えられた条件をそのまま式にする。

$PA^{2} + PB^{2} = 16$ は、距離の2乗の和。根号が出ない分、展開だけで進む。

整理して出てきた式が、どんな図形か(円なら中心と半径)を言葉で述べるところまでが答えだ。

公式

PA^{2} + PB^{2}

が一定の点の軌跡は、円(または1点)

$P (x, y)$ とおく。

$PA^{2} + PB^{2} = (x + 2)^{2} + y^{2} + (x - 2)^{2} + y^{2} = 2 x^{2} + 2 y^{2} + 8$

これが $16$ に等しいので

$2 x^{2} + 2 y^{2} + 8 = 16 \Rightarrow x^{2} + y^{2} = 4$

中心 $(0, 0)$ 、半径 $2$ の円。

軌跡は円 x²+y²=4

発展 — 一歩先へ。 右辺の $16$ を変えると、円の半径が変わる。 $2 AM^{2} = 8$ より小さくすると $PM^{2}$ が負になり、軌跡は空集合になる。条件の数値が図形の存在まで支配している。

「 $PA^{2} - PB^{2} = (一定)$ 」なら軌跡は直線、「 $PA^{2} + PB^{2}$ 」なら円。2乗の和と差で図形の種類が分かれる対比も、セットで覚える価値がある。

答

円 $x^{2} + y^{2} = 4$

数学Aで学んだ中線定理を使うと、展開せずに正体が見える。

$AB$ の中点 $M$ は原点だ。中線定理から、どんな点 $P$ でも

$PA^{2} + PB^{2} = 2 (PM^{2} + AM^{2}) = 2 (PM^{2} + 4)$

条件 $= 16$ を入れると $PM^{2} = 4$ 、つまり $PM = 2$ 。

$P$ は「原点 $M$ からの距離が $2$ 」の点。これは円の定義そのものだから、軌跡は円 $x^{2} + y^{2} = 4$ と即断できる。

「距離の2乗の和」を見たら中点が主役になる、という構造が定理1本で浮かび上がる。座標の展開(本解)は、実はこの中線定理を毎回証明し直している計算だったのだ。