絶対値を含む円の不等式の領域と面積

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x\to -x$ としても $y\to -y$ としても不等式は変わらない。領域は両方の座標軸について対称だ。だから第1象限($x\ge 0,y\ge 0$)だけ調べて4倍すればよい(境界の重なりは面積0)。

第1象限では絶対値がそのまま外れ、平方完成すると円板 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2\le 2$。この円はちょうど原点を通る(中心 $(1,1)$ から原点までの距離が半径 $\sqrt{2}$ に等しい)。この事実が、面積計算(弓形)と「4倍してよいか」の両方を支える。

① 第1象限に帰着する。 $x\ge 0,y\ge 0$ では

$$x^2+y^2\le 2x+2y⟺(x-1{)}^2+(y-1{)}^2\le 2$$

中心 $(1,1)$、半径 $\sqrt{2}$ の円板。求める領域の第1象限部分は、この円板のうち $x\ge 0$ かつ $y\ge 0$ の部分である。

② 円板から欠ける部分を弓形で測る。 円板のうち $x<0$ の部分は、弦 $x=0$(中心からの距離1)で切られた弓形。中心角 $\theta$ は $\cos \frac{\theta }{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ より $\theta =\frac{\pi }{2}$。弓形の面積は

$$\frac{r^2}{2}(\theta -\sin \theta )=\frac{2}{2}\left(\frac{\pi }{2}-1\right)=\frac{\pi }{2}-1$$

$y<0$ 側の弓形も同じ大きさ。しかも円は原点を通るから、2つの弓形は原点1点で接するだけで重ならない。よって第1象限部分の面積は

$$2\pi -2\left(\frac{\pi }{2}-1\right)=\pi +2$$

③ 対称性で4倍する。

$$S=4(\pi +2)=4\pi +8$$

領域全体は、中心 $(\pm 1,\pm 1)$・半径 $\sqrt{2}$ の4つの合同な円板の和集合。となり合う円板は軸をまたいで重なるので、円板の面積を単純に4倍した $8\pi$ は過大だ。象限で切って数えたのは、この二重数えを避けるためである。

まとめ: 「絶対値 → 対称性 → 1象限 → 平方完成 → 弓形」の5連鎖。円が原点を通る、という幾何的事実が、弓形の中心角($90^{\circ }$)と「1つの円板から切り取る2つの弓形が重ならない」ことを保証する。平面を象限で分割して数えるのが安全な設計だ。

発展 — 一歩先へ。 境界の式を極座標で書くと $r=2|\cos \theta |+2|\sin \theta |$。1つの式が4枚の円を同時に描いている。絶対値入りの円の方程式は、極座標の目で見ると素性が読みやすくなることがある。

別解

包除原理で正面から足し引きする(得意な人向け)。 象限に切らず、4つの円板の和集合の面積を包除原理で数えることもできる。

各円板の面積は $2\pi$、4枚で $8\pi$。ここから重なりを引く。

となり合う円(たとえば中心 $(1,1)$ と $(1,-1)$)は、中心距離 $2$、半径 $\sqrt{2}$。重なり(レンズ)の面積は、2つの弓形の和で

$$2\times \left\{\frac{r^2}{2}(\theta -\sin \theta )\right\}=2\left(\frac{\pi }{2}-1\right)=\pi -2$$

(中心角は $\cos \frac{\theta }{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ より $\theta =\frac{\pi }{2}$。)となり合うペアは4組。

対角の円(中心 $(1,1)$ と $(-1,-1)$)は、中心距離 $2\sqrt{2}$ がちょうど半径の和に等しく、原点で接するだけ。重なりは0。3枚以上の共通部分も原点1点のみで面積0。よって

$$S=4\cdot 2\pi -4(\pi -2)=4\pi +8$$

象限分割(本解)は重なりを最初から発生させない設計、包除(本ルート)は重なりを正面から精算する設計。答えの一致が、レンズ面積の計算の検算にもなっている。