複素数と方程式 — 解と係数の関係・高次方程式

次の計算をせよ。

(1) $(3+2i)+(1-4i)$

(2) $(3+2i)(1-4i)$

(3) $(2+i{)}^2$

$\frac{2+i}{1-i}$ を $a+bi$($a$、$b$ は実数)の形にせよ。

次の値を求めよ。

(1) $i^{100}$

(2) $i^{2023}$

実数 $a$、$b$ が $(a+bi)(1+2i)=5i$ を満たすとき、$a$、$b$ の値を求めよ。

$z=3-2i$ とする。次の値を求めよ。

(1) $z+\bar{z}$

(2) $z\bar{z}$

2次方程式 $x^2-4x+13=0$ を解け。

2次方程式 $x^2-5x+8=0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha +\beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めよ。

2次方程式 $x^2-3x+1=0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、${\alpha }^2+{\beta }^2$ の値を求めよ。

整式 $P(x)=x^3-2x^2+3x-1$ を $x-2$ で割った余りを求めよ。

整式 $P(x)=x^3-2x^2-5x+6$ を因数分解せよ。

3次方程式 $x^3-3x^2+4=0$ を解け。

3次方程式 $x^3=1$ の虚数解の1つを $\omega$ とするとき、次を確かめよ。

(1) ${\omega }^2+\omega +1=0$

(2) ${\omega }^3=1$

次を計算せよ。

(1) $(2+3i{)}^2$

(2) $(1-i{)}^3$

(3) $(3+2i)(3-2i)$

$\frac{3+i}{1-2i}$ を $a+bi$($a$、$b$ は実数)の形にせよ。

$(a+bi{)}^2=3+4i$ を満たす実数 $a$、$b$ を求めよ。

次を計算せよ。

(1) $\sqrt{-2}\times \sqrt{-3}$

(2) $\frac{\sqrt{-27}}{\sqrt{-3}}$

2次方程式 $x^2-4x+7=0$ を解け。

2次方程式 $x^2-3x+5=0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とする。次の値を求めよ。

(1) ${\alpha }^2+{\beta }^2$

(2) ${\alpha }^3+{\beta }^3$

2次方程式 $x^2-2x+5=0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とする。$\alpha +1$、$\beta +1$ を2つの解とする2次方程式を1つ作れ。

2次方程式 $x^2-5x+3=0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とする。次の値を求めよ。

(1) $\frac{\beta }{\alpha }+\frac{\alpha }{\beta }$

(2) $(\alpha -\beta {)}^2$

整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りは $3$、$x-2$ で割ると余りは $5$ である。$P(x)$ を $(x-1)(x-2)$ で割ったときの余りを求めよ。

$x^4-5x^2+4$ を因数分解せよ。

方程式 $x^4-16=0$ を解け。

$\omega$ を方程式 $x^2+x+1=0$ の1つの解とする。次の値を求めよ。

(1) ${\omega }^{10}+{\omega }^5$

(2) $(1+\omega )(1+{\omega }^2)$

$z^2=-5+12i$ を満たす複素数 $z$ を求めよ。

2次方程式 $x^2-3x+1=0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とする。${\alpha }^2$、${\beta }^2$ を2つの解とする2次方程式を1つ作れ。

実数を係数とする2次方程式が、$x=3-2i$ を解にもつ。もう1つの解と、この2次方程式($x^2$ の係数が $1$)を求めよ。

$a$、$b$ を実数とする。3次方程式 $x^3+ax+b=0$ が $x=1+i$ を解にもつとき、$a$、$b$ の値と、残りの解をすべて求めよ。

$x^{100}$ を $x^2+x+1$ で割ったときの余りを求めよ。

方程式 $x^4-3x^3+4x^2-3x+1=0$ を解け。

$\omega$ を方程式 $x^2+x+1=0$ の1つの解とする。$(1+\omega {)}^6+(1+{\omega }^2{)}^6$ の値を求めよ。

3次方程式 $x^3-2x^2+3x-4=0$ の3つの解を $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ とする。次の値を求めよ。

(1) $\alpha +\beta +\gamma$

(2) $\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$

(3) $\alpha \beta \gamma$

(4) ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$

$4$ 次方程式 $x^4+4=0$ を解け。

$3$ 次方程式 $x^3-2x^2+3x-4=0$ の $3$ つの解を $\alpha ,\beta ,\gamma$ とするとき、${\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3$ の値を求めよ。

$\omega$ を $x^2+x+1=0$ の $1$ つの解とする。$(1+\omega {)}^{100}+(1+{\omega }^2{)}^{100}$ の値を求めよ。

整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが $2$、$x-2$ で割ると余りが $3$、$x-3$ で割ると余りが $6$ である。$P(x)$ を $(x-1)(x-2)(x-3)$ で割ったときの余りを求めよ。

実数を係数とする $x$ の方程式で、$1+i$ と $2i$ をともに解にもつもののうち、次数が最小のものを求めよ($x^n$ の係数は $1$ とする)。

$2$ 次方程式 $x^2-2x+5=0$ の $2$ つの解を $\alpha ,\beta$ とする。$\frac{1}{\alpha }$ と $\frac{1}{\beta }$ を $2$ つの解とする $2$ 次方程式を $1$ つ求めよ(係数は整数とする)。

次の値を求めよ。

(1) $(1+i{)}^{10}$ 　(2) $(1+\sqrt{3}i{)}^3$

実数の定数 $a,b$ について、$3$ 次方程式 $x^3+ax+b=0$ が $1+i$ を解にもつとき、$a,b$ の値と、残りの解を求めよ。

$\omega$ を $1$ の虚立方根の $1$ つ(すなわち ${\omega }^3=1,\omega \ne 1$)とする。$(1+\omega {)}^{2024}$ を $\omega$ を用いて表せ。

$4$ 次方程式 $x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0$ を解け。

$3$ 次方程式 $x^3-3x+1=0$ の $3$ つの解を $\alpha ,\beta ,\gamma$ とする。${\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3$ と ${\alpha }^4+{\beta }^4+{\gamma }^4$ の値を求めよ。

$x^{2024}$ を $x^2+x+1$ で割った余りを求めよ。

実数 $a,b$ に対し $3$ 次方程式 $x^3+ax+b=0$ が $x=1+i$ を解にもつとする。$a,b$ の値と、残りの実数解を求めよ。

$\zeta =\cos 72^{\circ }+i\sin 72^{\circ }$ とすると、$\zeta$ は $1$ の原始 $5$ 乗根で $1+\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^3+{\zeta }^4=0$ を満たす。これを用いて $\cos 72^{\circ }+\cos 144^{\circ }$ の値を求め、さらに $\cos 72^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ を示せ。

$\zeta$ を $1$ の原始 $5$ 乗根(${\zeta }^5=1,\zeta \ne 1$)とする。$(1-\zeta )(1-{\zeta }^2)(1-{\zeta }^3)(1-{\zeta }^4)$ の値を求めよ。

$z=a+bi$($a,b$ は実数)とする。$z^2=\overline{z}$(右辺は $z$ の共役複素数)を満たす複素数 $z$ をすべて求めよ。

3次方程式 $x^3-3x+1=0$ の3つの解を $\alpha ,\beta ,\gamma$ とするとき、

$$(\alpha -\beta {)}^2(\beta -\gamma {)}^2(\gamma -\alpha {)}^2$$

の値を求めよ。

2つの $x$ の2次方程式

$$x^2+ax+1=0,x^2+x+a=0$$

が少なくとも1つの共通の解をもつような実数 $a$ の値をすべて求めよ。

$x^{100}$ を $x^2-x+1$ で割った余りを求めよ。

$f(x)=x^3-3x+1$ とする。

(1) 等式 $f(x^2-2)=-f(x)f(-x)$ が成り立つことを示せ。

(2) $\alpha$ が方程式 $f(x)=0$ の解ならば、${\alpha }^2-2$ もこの方程式の解であることを示せ。

$z^3=18+26i$ を満たす複素数 $z$ のうち、$z=a+bi$($a,b$ は整数)の形で表されるものを求めよ。

$x$ の3次方程式

$$x^3-6x^2+kx-8=0$$

の3つの解がすべて正の実数となるような実数 $k$ の値を求めよ。

3次方程式 $x^3+x+1=0$ は、ただ1つの実数解 $\alpha$ と、互いに共役な2つの虚数解 $\beta ,\overline{\beta }$ をもつ。

(1) $-1<\alpha <0$ であることを示せ。

(2) $|\beta |>1$ であることを示せ。

$a,b$ を実数とし、$f(x)=x^2+ax+b$ とおく。$x$ の2次方程式 $f(x)=0$ の2つの解(重解・虚数解の場合も含める)の絶対値がともに1より小さいための必要十分条件は

$$f(1)>0,f(-1)>0,b<1$$

であることを示せ。