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数学II

複素数と方程式 解と係数の関係・高次方程式

複素数の計算、2次方程式の虚数解、解と係数の関係、剰余の定理・因数定理、高次方程式を扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 複素数の四則(和・積)
  2. 複素数の除法(分母の実数化)
  3. i の累乗
  4. 複素数の相等
  5. 共役複素数
  6. 2次方程式の複素数解
  7. 解と係数の関係
  8. 解と係数と対称式
  9. 剰余の定理
  10. 因数定理による因数分解
  11. 3次方程式を解く
  12. 1の3乗根 ω

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 複素数の計算(累乗)
  2. 複素数の除法
  3. 複素数の相等(2乗)
  4. 負の数の平方根
  5. 2次方程式の虚数解
  6. 解と係数の関係(対称式)
  7. 2数を解とする2次方程式
  8. 解と係数の関係の応用
  9. 剰余の定理(2条件)
  10. 複2次式の因数分解
  11. 高次方程式を解く
  12. 1の3乗根 ω の計算

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 複素数の平方根
  2. 2解の2乗を解とする方程式
  3. 実数係数と共役解
  4. 虚数解をもつ3次方程式
  5. 高次式を2次式で割った余り
  6. 相反方程式
  7. ω を使った式の値
  8. 3次方程式の解と係数

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 4次方程式 x⁴+4=0 を解く
  2. 3次方程式の3解の3乗の和
  3. 1の3乗根ωを使った累乗の計算
  4. 3つの条件から割った余りを求める
  5. 共役解をもつ実数係数の方程式
  6. 解の逆数を解とする2次方程式
  7. 複素数の累乗の計算
  8. 虚数解をもつ3次方程式の係数決定

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 1の虚立方根の高次のべき
  2. 相反方程式(t=x+1/x で次数下げ)
  3. 3次方程式の解のべき和(次数下げ)
  4. 高次の式を2次式で割った余り(ω利用)
  5. 実数係数方程式の虚数解と共役
  6. 1の5乗根で三角比の値を求める
  7. 1の5乗根に関する積の値
  8. z²=z̄ を満たす複素数(方程式の全解)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 3つの解の差積の平方
  2. 2つの2次方程式の共通解
  3. x²−x+1 で割った余り(周期6のべき)
  4. 解を解に移す恒等式
  5. 3乗して 18+26i になる複素数
  6. 3つの解がすべて正の実数になる条件
  7. 虚数解の絶対値の評価
  8. 2解の絶対値がともに1未満になる条件

複素数と方程式の解説(つまずきやすい点と学習の順序)